结论概述：在此情境中，另一方可能面临的后果主要取决于其行为的性质和程度，以及是否构成正当防卫或防卫过当。具体来说，另一方可能无需承担法律责任、可能承担部分法律责任，或者可能面临更严重的法律后果，这都需要根据实际情况来详细分析。
详细分析：
无需承担法律责任的情况：
- 如果另一方在遭受攻击时，为了保护自己的人身安全而采取了必要的防卫措施，且这些措施没有超过必要的限度，那么根据《中华人民共和国刑法》中关于正当防卫的规定，另一方无需承担法律责任。例如，如果一方老人先动手打人，另一方老人为了阻止攻击而轻轻推开对方，导致对方手腕摔成轻伤，且这种推开行为是必要的、合理的，那么另一方老人可能构成正当防卫，无需承担法律责任。
可能承担部分法律责任的情况：
- 如果另一方的防卫行为超过了必要的限度，造成了不必要的伤害，那么可能构成防卫过当。在这种情况下，另一方可能需要承担一定的法律责任，但通常会减轻或免除处罚。例如，如果一方老人先动手打人，另一方老人为了阻止攻击而用力推搡对方，导致对方手腕摔成轻伤，且这种推搡行为超出了必要的限度，那么另一方老人可能构成防卫过当，需要承担部分法律责任。
- 另外，如果另一方在对方停止攻击后，仍然继续对其实施伤害行为，那么这部分行为将不再属于正当防卫范畴，另一方需要对此部分行为承担法律责任。
可能面临更严重法律后果的情况：
- 如果另一方的行为并非出于防卫目的，而是主动攻击或报复对方，导致对方手腕摔成轻伤，那么另一方可能构成故意伤害罪，需要承担相应的刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。
- 此外，无论另一方是否构成犯罪，如果其行为给对方造成了经济损失（如医疗费用、误工费等），那么另一方还需要承担相应的民事赔偿责任。
建议与行动指南：
- 对于双方老人及其家属来说，首先应当保持冷静，避免事态进一步恶化。
- 及时报警并寻求医疗救助，确保受伤老人得到及时治疗。
- 收集并保留相关证据，如现场照片、视频、证人证言等，以便后续处理。
- 咨询专业律师，了解自身权益和可能面临的法律责任，以便做出合理的应对策略。
后续思考依据：
- 在处理此类纠纷时，需要综合考虑双方的行为性质、程度以及因果关系等因素。
- 正当防卫与防卫过当的界限往往比较模糊，需要根据具体情况进行判断。
- 民事赔偿与刑事责任是两个不同的法律概念，需要分别进行处理和承担。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。