结论：工伤认定书下来后，公司不服提起行政诉讼的情况确实存在，但具体数量难以给出确切统计，不过从司法实践和法律程序的角度来看，这种情况并不罕见。以下从多个角度为你详细分析：
一、公司不服工伤认定的常见原因
公司对工伤认定不服，往往源于对事故责任归属、劳动关系认定或工伤认定程序等方面的异议。例如，公司可能认为员工受伤并非工作原因导致，或者认为与员工之间不存在劳动关系，从而对工伤认定结果产生质疑。
二、公司提起行政诉讼的法律依据与程序
法律依据：
- 根据《工伤保险条例》第五十五条：“有下列情形之一的，有关单位或者个人可以依法申请行政复议，也可以依法向人民法院提起行政诉讼：……（二）申请工伤认定的职工或者其近亲属、该职工所在单位对工伤认定结论不服的；……”。这为公司对工伤认定不服提起行政诉讼提供了明确的法律依据。
诉讼程序：
- 起诉期限：公司需在收到工伤认定决定书之日起6个月内直接向人民法院提起行政诉讼；若公司先申请了行政复议并对复议决定不服，则可在收到复议决定书之日起15日内向人民法院提起诉讼。
- 管辖法院：诉讼一般由最初作出行政行为的社会保险行政部门所在地的基层人民法院管辖，但复杂或重大案件可能由中级人民法院管辖。
- 诉讼过程：公司需提交起诉状，阐明诉讼请求、事实和理由，并提交相关证据。法院将安排开庭审理，双方进行举证、质证、辩论等环节，最终法院根据审理情况作出判决。
三、公司提起行政诉讼的实际情况与考量
实际情况：
- 在司法实践中，公司对工伤认定不服提起行政诉讼的情况并不少见。这主要是因为工伤认定涉及公司经济利益和法律责任，公司往往会积极寻求法律途径来维护自身权益。
考量因素：
- 证据充分性：公司在提起行政诉讼前，需要充分评估自身证据的充分性和有效性。如果证据不足或存在瑕疵，可能导致诉讼失败。
- 法律风险：行政诉讼败诉可能导致公司承担工伤赔偿责任，包括医疗费、伤残补助金等。此外，若被认定为恶意诉讼，还可能面临行政处罚或信用影响。
- 诉讼成本：提起行政诉讼需要投入一定的人力、物力和财力。公司需要权衡诉讼成本与潜在收益，做出明智的决策。
四、建议与注意事项
建议：
- 寻求专业支持：建议公司在对工伤认定不服时，委托专业律师处理。律师可以协助分析证据链、制定诉讼策略并参与庭审辩论，提高胜诉概率。
- 积极协商调解：在诉讼前或过程中，公司可以通过调解与员工达成协议，减少纠纷成本。调解协议需经法院确认才具法律效力。
注意事项：
- 遵守法定期限：公司需严格遵守行政诉讼的起诉期限，避免因逾期而丧失诉讼权利。
- 充分准备证据：在诉讼过程中，公司需要充分准备证据，以支持其诉讼主张。证据应真实、合法、有效，且与案件事实紧密相关。
总结：工伤认定书下来后，公司不服提起行政诉讼的情况并不罕见。公司在决定提起行政诉讼前，应充分评估自身证据的充分性和有效性、法律风险以及诉讼成本等因素。如有需要，可以随时向我咨询相关法律问题，我会为你提供专业的法律支持和建议。