结论：试用期一个月后延长是否合法，需根据具体情况判断，一般情况下不合法，但满足特定条件时可能合法。以下从不同角度详细分析：
一、一般情况下不合法
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，试用期的时长与劳动合同的期限紧密相关，且同一用人单位与同一劳动者只能约定一次试用期。这意味着，一旦试用期开始执行，用人单位就不能随意延长。具体来说：
- 试用期时长限制：
- 劳动合同期限三个月以上不满一年的，试用期不得超过一个月。
- 劳动合同期限一年以上不满三年的，试用期不得超过二个月。
- 三年以上固定期限和无固定期限的劳动合同，试用期不得超过六个月。
如果劳动合同中约定的试用期已经履行完毕，且该试用期符合上述法律规定，那么用人单位在试用期结束后提出延长试用期，通常是违法的。
- 约定次数限制：
- 同一用人单位与同一劳动者只能约定一次试用期。这意味着，一旦试用期结束，用人单位就不能再次约定试用期，包括延长试用期。
二、满足特定条件时可能合法
尽管一般情况下延长试用期是不合法的，但也存在一些特殊情况可能使得延长试用期变得合法。这些情况包括：
原试用期未达法定上限，且延长后仍未超过法定上限：
- 例如，对于三年期限的劳动合同，如果原来只约定了三个月的试用期，那么存在延长试用期的可能性，但延长后的总试用期不得超过六个月。
用人单位与劳动者协商一致，并有合理的理由：
- 如劳动者岗位调整后需重新适应等，且延长后的总时长未超过法定上限。这种情况下，延长试用期需要严格满足法律规定的条件，并且应当有明确的书面协议作为证据。
劳动合同或公司规章制度中明确约定了在特定情形下可延长试用期：
- 且该约定不违反法律法规的强制性规定。但同样，延长后的总时长也不能超过法定上限。
三、劳动者的权益保护
如果用人单位在试用期结束后非法提出延长试用期，劳动者有权拒绝，并可以采取以下措施维护自己的合法权益：
向当地劳动监察部门投诉：
- 劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行调查和处理，保护劳动者的合法权益。
提起劳动仲裁：
- 如果投诉无果或用人单位拒绝改正，劳动者可以向劳动仲裁机构提起劳动仲裁，要求用人单位承担相应的法律责任。
保留好相关证据：
- 如劳动合同、试用期约定书、沟通记录等，以便在必要时进行维权。
四、建议与提醒
用人单位应严格遵守法律规定：
- 在约定试用期时，应确保符合法定时长和约定次数的限制。如需延长试用期，应与劳动者充分沟通并达成一致，且延长后的总时长不得超过法定上限。
劳动者应了解自己的权益：
- 在签订劳动合同时，应仔细阅读合同条款，了解试用期的时长和约定次数。如遇到非法延长试用期的情况，应及时采取措施进行维权。
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