结论：在国外犯罪服刑完毕后，外国的犯罪记录是否会“跟着”到中国来，这主要取决于中国与犯罪发生国之间的司法合作情况以及中国国内法的相关规定。一般来说，外国的犯罪记录不会自动在中国产生法律效力，但在特定情况下，如涉及跨国司法合作、签证申请、移民等，相关犯罪记录可能会被考虑或披露。

详细分析：

1. 司法合作与信息共享：

   • 中国与其他国家之间可能存在司法合作协议或信息共享机制，这些协议或机制可能涉及犯罪记录的交换。然而，这种交换通常是在特定案件或特定情况下进行的，并非自动或普遍的。
   • 即使存在司法合作，外国犯罪记录的传递也需要遵循严格的法律程序和隐私保护原则，不会随意公开或传播。

2. 中国国内法的规定：

   • 根据中国《刑事诉讼法》及相关法律规定，中国的司法机关在处理案件时，主要依据的是中国国内的犯罪记录和证据。
   • 外国犯罪记录本身不会直接成为中国司法机关处理案件的依据，除非经过法定程序进行认证和转换，且与中国法律不冲突。

3. 签证申请与移民：

   • 在申请中国签证或进行移民相关手续时，申请人可能需要提供无犯罪记录证明。此时，如果申请人在外国有过犯罪记录，且该记录被相关国家记录在案，那么申请人可能需要面对该记录被披露或考虑的风险。
   • 然而，这并不意味着外国的犯罪记录会自动“跟着”申请人到中国，而是需要申请人在申请过程中主动披露或相关机构在审核过程中发现。

4. 实际影响与建议：

   • 对于一般公民而言，外国的犯罪记录不会直接影响其在中国的生活和工作，除非涉及上述特定情况。
   • 如果您在国外有过犯罪记录，并担心这可能对您在中国的事务产生影响，建议您在相关情况下主动咨询专业律师，了解具体法律程序和可能的风险。
   • 同时，您也可以考虑通过合法途径（如申请犯罪记录封存或删除等，具体取决于犯罪发生国的法律）来减少或消除外国犯罪记录对您的影响。

总结与进一步思考：

外国的犯罪记录不会自动在中国产生法律效力，但在特定情况下可能会被考虑或披露。如果您对此有进一步疑问或需要具体法律建议，请随时向我咨询。作为专业律师，我专注于涉外法律和合资合作领域，能够为您提供全面、准确的法律解答和帮助。