核心结论：若牙医没有医疗机构执业许可证造成医疗事故，患者可以从民事赔偿、行政处罚、刑事追责三个角度来维护自身权益。以下是详细说明：
民事赔偿角度
- 法律依据：根据《民法典》侵权责任编相关规定，患者在诊疗活动中受到损害，医疗机构或者其医务人员有过错的，由医疗机构承担赔偿责任。在此情况下，虽然牙医没有合法执业资质，但患者因牙医的诊疗行为遭受人身损害，牙医的行为构成侵权，应当承担民事赔偿责任。
- 赔偿范围：包括医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
- 举证要点：患者需要证明与牙医之间存在诊疗关系，比如病历、收费凭证等；证明自身受到了损害，如诊断证明、伤残鉴定报告等；证明牙医的诊疗行为与损害结果之间存在因果关系，这可能需要专业的医疗鉴定机构出具鉴定意见。
行政处罚角度
- 处罚依据：依据《基本医疗卫生与健康促进法》第九十九条第一款规定，未取得医疗机构执业许可证擅自执业的，由县级以上人民政府卫生健康主管部门责令停止执业活动，没收违法所得和药品、医疗器械，并处违法所得五倍以上二十倍以下的罚款，违法所得不足一万元的，按一万元计算。
- 处理流程：患者可以向当地的卫生健康主管部门举报该牙医的非法执业行为。卫生健康主管部门在接到举报后，会进行调查核实。如果情况属实，将依法对牙医作出上述行政处罚决定。
刑事追责角度
- 可能罪名：如果牙医的非法执业行为造成患者重伤、死亡等严重后果，可能涉嫌非法行医罪。根据《刑法》第三百三十六条第一款规定，未取得医生执业资格的人非法行医，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；严重损害就诊人身体健康的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；造成就诊人死亡的，处十年以上有期徒刑，并处罚金。
- 立案标准：“情节严重”包括造成就诊人轻度残疾、器官组织损伤导致一般功能障碍等情形；“严重损害就诊人身体健康”是指造成就诊人中度以上残疾、器官组织损伤导致严重功能障碍等情形。
- 追责流程：患者或其家属可以向公安机关报案，公安机关会进行立案侦查。在侦查过程中，会收集相关证据，如现场勘查记录、证人证言、医疗鉴定报告等。如果证据充分，会将案件移送检察机关审查起诉，最终由法院进行审判。