当牙医出现医疗事故时，患者及其家属可以按照以下步骤来处理：
一、立即报告与初步处理
- 医务人员报告：一旦医务人员在医疗活动中发现或怀疑发生医疗事故，应立即向所在科室的负责人报告。
- 科室负责人报告：科室负责人接到报告后，需及时向本医疗机构负责医疗服务质量监控的部门或专（兼）职人员报告。
- 医疗机构调查与通报：负责医疗服务质量监控的部门或专（兼）职人员会立即进行调查、核实，并将有关情况如实向本医疗机构的负责人报告，同时向患者通报、解释。
二、医疗事故鉴定
- 申请鉴定：患者或其家属如果认为医疗机构或医务人员存在过错，并导致了人身损害，可以向相关机构申请医疗事故鉴定。这通常涉及对诊疗行为是否存在过错、过错诊疗行为与医疗损害后果之间的因果关系、原因力大小等进行司法鉴定。
- 鉴定流程：鉴定机构会组织专家进行评审，根据医疗记录、患者情况、相关法律法规等，出具鉴定意见。
三、协商与调解
- 双方协商：在鉴定意见出具后，患者或其家属可以与医疗机构进行协商，就赔偿等问题达成一致。
- 第三方调解：如果协商不成，可以寻求第三方调解，如医疗纠纷人民调解委员会等，进行调解处理。
四、法律途径
- 提起诉讼：如果协商和调解均无法达成一致，患者或其家属可以向法院提起诉讼，要求医疗机构承担赔偿责任。
- 法院审理：法院会根据案件事实、鉴定意见以及相关法律法规进行审理，并作出判决。
五、相关法律法规依据
- 《医疗事故处理条例》：该条例明确了医疗事故的定义、处理流程、赔偿标准等，是处理医疗事故的重要依据。
- 《中华人民共和国民法典》：其中第一千二百一十八条规定，患者在诊疗活动中受到损害，医疗机构或者其医务人员有过错的，由医疗机构承担赔偿责任。这为患者提供了法律保障。
六、具体案例参考
以您提供的案例为例，王女士在拔牙过程中因医生操作不当导致车针断裂并留置在口腔内，长期饱受痛苦。她通过申请司法鉴定，证明了医方的过错，并最终通过法律途径获得了赔偿。这个案例说明了在医疗事故中，患者有权通过法律手段维护自己的权益。
七、建议与注意事项
- 保留证据：在发生医疗事故后，患者应尽可能保留相关证据，如医疗记录、诊断证明、费用单据等。
- 及时咨询：患者可以咨询专业律师或医疗纠纷处理机构，了解自己的权益和可行的处理方式。
- 理性维权：在处理医疗事故时，患者应保持理性，通过合法途径维护自己的权益，避免采取过激行为。
综上所述，当牙医出现医疗事故时，患者及其家属应立即报告、申请鉴定、协商调解或提起诉讼，并依据相关法律法规来维护自己的权益。