汽车把小狗压死之后逃逸，这一行为本身不直接构成特定的刑事犯罪罪名，但可能涉及民事赔偿、行政处罚，在特殊情况下还可能涉及刑事犯罪。以下是对此问题的详细解析：

1. 民事赔偿责任：

   • 狗作为主人的财产，受到法律的保护。依据《中华人民共和国民法典》第一千一百八十四条，侵害他人财产的，财产损失按照损失发生时的市场价格或者其他合理方式计算。因此，压死狗后，无论是否逃逸，肇事者都需按狗的市场价值或其他合理方式计算赔偿金额，对狗主人进行赔偿。赔偿数额通常考虑狗的品种、购买价格、市场价值等因素。

2. 行政处罚：

   • 在道路上压死狗后逃逸，可能被视为造成交通事故后逃逸的行为。根据《中华人民共和国道路交通安全法》第九十九条，对于造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，公安机关交通管理部门可处以二百元以上二千元以下罚款，并可并处十五日以下拘留。这表明，逃逸行为本身即可能受到法律的制裁。

3. 特殊情况下的刑事犯罪：

   • 若被压死的狗具有特殊价值，如经过严格训练的导盲犬、搜救犬等工作犬，其价值远超普通宠物狗，且损失金额达到当地关于故意毁坏财物罪的立案标准（一般为5000元以上），则肇事逃逸者可能涉嫌故意毁坏财物罪。依据《中华人民共和国刑法》第二百七十五条，故意毁坏公私财物，数额较大或有其他严重情节的，可处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；数额巨大或有其他特别严重情节的，更将面临三年以上七年以下有期徒刑的刑罚。

4. 道德与社会责任：

   • 除法律责任外，驾驶员在发生交通事故后，还应承担道德和社会责任。应立即停车查看情况，采取必要的救助措施，并及时报警处理。这是尊重生命、维护社会公德的表现，也是每个公民应尽的社会责任。

总结与建议：

• 驾驶员在遇到类似情况时，务必保持冷静，负责任地处理事故，以避免不必要的法律风险和道德谴责。
• 如果已经发生了压死狗后逃逸的情况，建议尽快与狗主人联系，协商赔偿事宜，并主动向公安机关交通管理部门说明情况，接受可能的行政处罚。
• 如果被压死的狗具有特殊价值，且损失金额较大，建议咨询专业律师，了解可能面临的法律责任，并寻求合适的法律解决方案。

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