结论：在看守所关押期间被同监室人员殴打致伤，受害人既可向致害人要求民事赔偿，也可在看守所存在监管过错时要求其承担补充赔偿责任。以下是对此问题的详细分析：

一、赔偿责任主体及赔偿方式

1. 致害人

   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
   • 赔偿方式：受害人可通过刑事附带民事诉讼或单独提起民事诉讼的方式，要求致害人赔偿医疗费、误工费、护理费、残疾赔偿金等经济损失。例如，若致害人因故意伤害被判刑，受害人可在刑事诉讼过程中提起附带民事诉讼，要求赔偿因伤害造成的各项损失。

2. 看守所

   • 法律依据：根据《中华人民共和国国家赔偿法》第三条及《最高人民法院关于审理行政赔偿案件若干问题的规定》第一条，看守所作为监管机构，若未尽到合理监管义务，导致在押人员被他人伤害，应承担补充赔偿责任。
   • 赔偿程序：受害人需先向看守所提出国家赔偿申请，若对赔偿决定不满，可向法院提起行政赔偿诉讼。例如，若看守所未能及时发现并制止殴打行为，导致受害人受伤，受害人可向看守所提出赔偿申请，要求赔偿因监管不力造成的损失。

二、重要注意事项

1. 确定责任方

   • 分析伤害是否由其他在押人员造成，以及看守所是否存在监管不力的情况。这有助于明确赔偿责任主体，为后续的赔偿申请提供依据。

2. 收集证据

   • 关键证据包括医疗记录、伤残鉴定报告、目击者证言（如可能）、监控录像等。特别是伤残鉴定报告，是评估赔偿金额的重要依据。例如，受害人应及时就医并保存好医疗记录，同时申请伤残鉴定，以证明伤害程度和赔偿金额。

3. 提出赔偿请求

   • 向责任人或看守所提出赔偿请求，并附上相关证据材料。若不满意赔偿决定，可进一步向上级管理机构投诉或申请行政复议。例如，受害人可向看守所提交书面赔偿申请，并附上医疗记录、伤残鉴定报告等证据，要求看守所给予赔偿。

4. 法律援助与诉讼

   • 若在赔偿过程中遇到困难，如看守所拒绝赔偿或赔偿金额不合理等，受害人可考虑寻求法律援助或通过法律途径提起诉讼。例如，受害人可聘请专业律师代表进行诉讼，以维护自己的合法权益。

5. 关注时效问题

   • 提出赔偿请求和提起诉讼均有一定的时效限制。根据《中华人民共和国国家赔偿法》的相关规定，受害人应在知道或应当知道权利被侵害之日起一定期限内提出赔偿请求。因此，建议受害人尽快行动，以免错过时机。

三、实际操作建议

• 及时报案：在受伤后，应立即向看守所管理人员报告，并要求他们记录事件经过和采取相应措施。
• 保留证据：尽可能收集并保留所有与伤害事件相关的证据，如医疗记录、照片、视频等。
• 咨询专业律师：在处理此类复杂法律问题时，建议受害人及时咨询专业律师（即向我咨询），以获取更详细的法律建议和帮助。

综上所述，受害人在看守所被羁押期间被同监室犯人打伤且构成伤残时，应明确赔偿责任主体，依法提出赔偿请求，并注重证据的收集与保留。在赔偿过程中遇到困难时，应及时向我咨询以获取更详细的法律建议和帮助。