结论：公司和工人签订了拖欠工资支付日期的协议后，工人仍然有权向法院起诉，且在符合法定条件的情况下，法院会予以支持。
分析说明：
协议的法律效力：
- 公司和工人之间签订的关于拖欠工资支付日期的协议，如果双方意思表示真实，且不违反法律、行政法规的强制性规定，那么该协议是具有法律效力的。这意味着，一旦协议签订，双方都应当按照协议的约定来履行各自的义务。
起诉的权利：
- 尽管双方签订了协议，但如果公司未能按照协议约定的日期支付拖欠的工资，工人仍然有权向法院提起诉讼。这是因为，支付工资是公司的法定义务，而协议只是双方对这一义务履行方式和时间的约定。当公司违反约定时，工人有权通过法律途径来维护自己的合法权益。
法院支持的条件：
- 法院是否会支持工人的诉讼请求，主要取决于工人能否提供充分的证据来证明公司确实存在拖欠工资的行为，并且未能按照协议约定的日期支付。这些证据可以包括工资条、银行转账记录、协议文本等。
- 另外，如果协议中存在显失公平、欺诈、胁迫等情形，导致协议无效或可撤销，工人也可以在法定期限内主张协议无效或撤销，并要求公司支付拖欠的工资。
可能的法律后果：
- 如果法院认定公司确实存在拖欠工资的行为，并且未能按照协议约定的日期支付，那么法院会判决公司支付拖欠的工资，并可能要求公司支付逾期支付的利息或赔偿金。
- 如果公司拒不履行法院判决，工人还可以申请法院强制执行，通过法律手段来强制公司履行支付义务。
建议与行动：
- 如果你作为工人遇到了公司拖欠工资的情况，并且已经与公司签订了关于拖欠工资支付日期的协议，但公司未能按照协议履行，建议你及时收集相关证据，如工资条、银行转账记录、协议文本等，并向法院提起诉讼。
- 在起诉前，你也可以尝试与公司进行协商，看是否能够达成和解协议，以更快地解决纠纷。但如果协商无果，那么起诉将是维护你合法权益的有效途径。
额外提醒：
- 在签订任何协议时，都请务必仔细阅读协议条款，确保自己的权益得到充分保障。如果对协议内容存在疑问或不确定的地方，建议咨询专业律师的意见。
- 在处理劳动纠纷时，保持冷静和理性是非常重要的。通过法律途径来维护自己的合法权益是正当且有效的，但也要注意遵守法律程序和规定。
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