结论：市场监管超过诉讼期（应指超过行政处罚追责时效或行政诉讼起诉期限）的行政处罚，仍可以申请执法监督，但需分情况处理，具体如下：

一、若行政处罚超过行政处罚追责时效

1. 法律分析
   • 根据《中华人民共和国行政处罚法》第三十六条规定，违法行为在二年内未被发现的，不再给予行政处罚；涉及公民生命健康安全、金融安全且有危害后果的，上述期限延长至五年。法律另有规定的除外。前款规定的期限，从违法行为发生之日起计算；违法行为有连续或者继续状态的，从行为终了之日起计算。
   • 如果市场监管部门作出的行政处罚决定所针对的违法行为已经超过了上述追责时效，那么该行政处罚决定本身是违法的，因为行政机关丧失了对该违法行为进行处罚的法定权力。
2. 申请执法监督及处理方式
   • 申请执法监督：当事人可以向作出该行政处罚决定的市场监管部门的上一级主管部门或者本级人民政府申请执法监督。申请时应当提交书面申请，说明申请监督的事由、理由及请求，并提供相关证据材料，如证明违法行为发生时间的证据等。
   • 处理结果：上级部门或本级政府在收到申请后，会进行调查核实。如果确认行政处罚决定确实超过了追责时效，会依法撤销该行政处罚决定，或者责令作出行政处罚决定的市场监管部门自行撤销。

二、若行政处罚超过行政诉讼起诉期限

1. 法律分析
   • 根据《中华人民共和国行政诉讼法》第四十六条规定，公民、法人或者其他组织直接向人民法院提起诉讼的，应当自知道或者应当知道作出行政行为之日起六个月内提出。法律另有规定的除外。因不动产提起诉讼的案件自行政行为作出之日起超过二十年，其他案件自行政行为作出之日起超过五年提起诉讼的，人民法院不予受理。
   • 如果当事人超过了上述起诉期限才向法院提起行政诉讼，法院将不再受理其诉讼请求。但这并不意味着该行政处罚决定就是完全合法且不可质疑的，只是当事人失去了通过行政诉讼这一司法途径来直接撤销或改变行政处罚决定的机会。
2. 申请执法监督及处理方式
   • 申请执法监督：当事人仍然可以向作出该行政处罚决定的市场监管部门的上一级主管部门或者本级人民政府申请执法监督。在申请中，当事人可以阐述自己未能在起诉期限内提起诉讼的原因，如因不可抗力或者其他正当理由耽误起诉期限等，并提供相应证据。
   • 处理结果：上级部门或本级政府在审查后，如果认为当事人有正当理由耽误起诉期限，且行政处罚决定确实存在违法情形的，可能会启动执法监督程序，对行政处罚决定进行审查。审查后，如果确认行政处罚决定违法，会依法作出处理，如撤销、变更行政处罚决定或者责令作出行政处罚决定的市场监管部门重新作出行政行为等；如果认为当事人无正当理由耽误起诉期限，且行政处罚决定合法，则会维持该行政处罚决定。