结论前置：

1. 一般情况下，单纯声称或口头“断绝关系”并不能免除抚养义务。抚养义务是法定的，不因双方的简单约定或声明而解除。
2. 只有在符合法律规定的特定情形，如通过合法的收养程序导致原有的父母子女关系解除时，抚养义务才会发生变化。

详细分析：

在法律层面上，抚养未成年子女是父母的法定义务，这一义务深深植根于父母与子女之间的身份关系之中。这种义务并非双方可以通过简单约定或声明就能轻易解除的。即便有的父母与子女之间签订了所谓的“断绝关系”协议，并约定此后不再往来且无需承担抚养责任，这样的协议在法律上也是不具备效力的。因为抚养义务是由法律强制规定的，其核心目的在于确保未成年子女在成长过程中能够得到父母的妥善照料和必要的经济支持。

特殊情况分析：

然而，也存在一些特殊情况可能会导致抚养义务的变化。最为典型的就是子女被他人合法收养的情况。当收养关系依法成立后，养子女与生父母之间的权利和义务便会因收养关系的建立而自然消除。在这种情况下，生父母对养子女将不再负有抚养义务，因为他们与法律上的新家庭建立了新的权利义务关系。但需要注意的是，这种情况并不常见，且需要严格的法律程序来确认。

法律建议：

1. 对于父母而言：如果确实存在无法继续抚养子女的情况，如经济困难、健康问题等，应当寻求法律途径解决，如申请变更抚养权或寻求社会救助等，而不是简单地通过“断绝关系”来逃避抚养义务。
2. 对于子女而言：如果父母未履行抚养义务，子女有权向法院提起诉讼，要求父母履行抚养义务。法院会根据具体情况判决父母支付抚养费等。
3. 对于双方而言：在任何情况下，都应当尊重法律，遵守法律规定的义务和责任。试图通过非法手段逃避抚养义务或拒绝履行抚养义务，都可能面临法律制裁。

可能的法律后果：

如果父母未履行抚养义务，除了可能面临子女的诉讼要求外，还可能受到社会的谴责和道德的评判。在极端情况下，如果父母的行为构成遗弃罪等犯罪行为，还可能面临刑事处罚。

综上所述，断绝关系并不能成为不履行抚养义务的理由。抚养义务是法定的，必须履行。如果存在特殊情况或困难，应当寻求法律途径解决，而不是试图逃避责任。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。