结论前置：
- 在赡养义务方面：单纯声称或口头“断绝关系”并不能免除子女的赡养义务。只有在符合法律规定的特定情形，如通过合法的收养程序导致原有的父母子女关系解除时，赡养义务才会发生变化。
- 在抚养义务方面：父母与子女之间基于血缘形成的亲子关系无法断绝，父母对未成年子女或不能独立生活的成年子女负有支付抚养费的法定义务，这一义务不因父母婚姻关系的变更或解除而消除，也不因“断绝关系”的声明而免除。
详细分析：
赡养义务角度
在法律层面上，赡养父母是子女的法定义务，这一义务深深植根于父母与子女之间的身份关系之中。这种义务并非双方可以通过简单约定或声明就能轻易解除的。即便有的子女与父母之间签订了所谓的“断绝关系”协议，并约定此后不再往来且无需承担赡养责任，这样的协议在法律上也是不具备效力的。因为赡养义务是由法律强制规定的，其核心目的在于确保父母在年老、缺乏劳动能力或者生活陷入困境时，能够得到子女的妥善照料和必要的经济支持。
然而，也存在一些特殊情况可能会导致赡养义务的变化。最为典型的就是子女被他人合法收养的情况。当收养关系依法成立后，养子女与生父母之间的权利和义务便会因收养关系的建立而自然消除。在这种情况下，养子女对生父母将不再负有赡养义务，因为他们与法律上的新家庭建立了新的权利义务关系。
抚养义务角度
父母与子女之间的关系，无论是自然血亲还是拟制血亲，在法律上都承载着明确的抚养义务。这些义务不因双方的“断绝关系”声明而解除，而是受到法律的严格保护和规范。
父母对未成年子女的抚养义务：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。这一义务是法定的，不会因父母声称断绝关系或其他原因而免除。父母应提供生活、教育、健康等基本需求，确保未成年子女的正常成长。
对不能独立生活的成年子女的抚养义务：
- 对于尚在校接受高中及其以下学历教育，或丧失、部分丧失劳动能力等非因主观原因无法维持正常生活的成年子女，父母同样负有抚养义务，需支付抚养费。这一规定确保了子女在成长过程中能够获得必要的经济支持和关爱。
父母婚姻关系变更对抚养义务的影响：
- 父母之间的婚姻关系变更（如离婚、分居）不影响他们对子女的抚养义务。无论父母关系如何变化，抚养义务均持续存在。若一方拒绝支付抚养费，另一方有权向法院提起诉讼，要求对方履行抚养义务。
法律建议
- 明确法律关系：在处理“断绝关系”相关的问题时，首先要明确的是，单纯的口头声明或协议并不能改变法律上的权利义务关系。要真正解除父母子女之间的权利义务关系，必须通过合法的法律程序，如收养关系的建立或解除等。
- 寻求法律帮助：如果面临赡养或抚养方面的法律问题，如对方拒绝履行义务等，建议及时寻求法律帮助。作为专业律师，我可以根据具体情况提供详细的法律咨询和解决方案，确保你的合法权益得到有效维护。
总结：在法律上，“断绝关系”并不能简单地免除赡养或抚养义务。这些义务是由法律强制规定的，旨在保护家庭成员之间的合法权益和社会公序良俗。因此，在处理相关问题时，应仔细审查具体情况，并依据相关法律法规作出准确判断。如果你有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。