派遣员工被辞退后，赔偿责任的确定需依据具体辞退原因，可能涉及用工单位和劳务派遣单位，赔偿索取应通过明确主体、协商解决、劳动仲裁和诉讼等途径进行。以下是对此问题的详细分析：
一、赔偿责任确定
用工单位存在过错的情况：
- 若派遣员工因用工单位的原因（如业务调整、订单减少等经济性原因或无正当理由随意辞退）被辞退，用工单位需承担主要责任。此时，派遣员工有权向用工单位主张经济补偿或赔偿金。劳务派遣单位若未尽到监督和保障责任，根据具体情况也可能需承担连带赔偿责任。
- 举例：用工单位因经营不善决定裁员，将派遣员工退回劳务派遣单位，但未按照法律规定支付经济补偿，派遣员工可以向用工单位主张经济补偿。
派遣员工自身存在法定过错情形：
- 若派遣员工存在《劳动合同法》第三十九条规定的严重违反规章制度、失职舞弊等情形，用工单位可以依法将其退回劳务派遣单位，且无需支付经济补偿或赔偿金。劳务派遣单位也可据此与派遣员工解除劳动合同。
- 举例：派遣员工在工作期间严重违反公司规章制度，给用工单位造成重大损失，用工单位可以将其退回劳务派遣单位，且无需支付经济补偿。
用工单位因客观情况发生重大变化等合法辞退的情况：
- 若用工单位因企业搬迁、技术革新等客观情况发生重大变化导致劳动合同无法履行，且经协商未能就变更劳动合同内容达成协议，用工单位可以将派遣员工退回劳务派遣单位。此时，劳务派遣单位应根据具体情况对派遣员工进行重新派遣或解除劳动合同并支付相应的经济补偿。
- 举例：用工单位因城市规划需要搬迁至其他城市，导致与派遣员工的劳动合同无法继续履行，且双方无法就变更劳动合同内容达成协议，用工单位可以将派遣员工退回劳务派遣单位，劳务派遣单位应支付经济补偿。
劳务派遣单位原因辞退：
- 若派遣员工因劳务派遣单位自身经营问题或违反法律法规规定解除劳动合同等原因被辞退，劳务派遣单位需承担赔偿责任。派遣员工应向劳务派遣单位索取经济补偿或赔偿金。
- 举例：劳务派遣单位因经营不善决定裁员，与派遣员工解除劳动合同，但未按照法律规定支付经济补偿，派遣员工可以向劳务派遣单位主张经济补偿。
二、赔偿标准
- 根据《劳动合同法》等相关法律规定，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算：
- 每满一年支付一个月工资的经济补偿；
- 六个月以上不满一年的，按一年计算；
- 不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 若用工单位或劳务派遣单位违法解除劳动合同，则需按照经济补偿标准的二倍向派遣员工支付赔偿金。
三、赔偿索取流程
- 明确赔偿主体：根据辞退原因确定是向用工单位还是劳务派遣单位索取赔偿，或两者均需承担责任。
- 协商解决：首先尝试与用工单位和劳务派遣单位进行协商，明确赔偿金额和支付主体。
- 劳动仲裁：如协商无果，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交相关证据（如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、辞退通知等）以证明劳动关系、工作年限及辞退原因。
- 诉讼：对仲裁结果不服的，还可向人民法院提起诉讼以维护自己的合法权益。
四、其他注意事项
- 被派遣劳动者退回后在无工作期间，劳务派遣单位应当按照不低于所在地人民政府规定的最低工资标准，向其按月支付报酬。
- 在劳务派遣关系中，用工单位主要负责提供工作岗位和管理派遣员工，而劳务派遣单位则负责与员工签订劳动合同并管理其人事关系。因此，当派遣员工被辞退时，应根据具体原因确定责任主体。
综上所述，派遣员工被辞退后是否获得补偿取决于辞退的具体原因、法律规定以及劳务派遣的特殊性质。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。