家长可以追究纹身店的责任，主要可以通过民事赔偿和行政处罚两个途径来维护未成年子女的合法权益。以下从这两个方面进行详细分析：
一、民事赔偿
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，纹身店作为提供纹身服务的经营者，有义务确保服务对象具备相应的民事行为能力。对于未成年人，由于其缺乏足够的判断力和自我保护能力，纹身店应当承担更高的注意义务。
- 若纹身店在未经家长同意或未成年人未具备相应民事行为能力的情况下，擅自为其提供纹身服务，造成未成年人身心损害的，应当承担侵权责任。
赔偿范围：
- 家长可以要求纹身店赔偿因纹身行为给未成年人造成的直接经济损失，如医疗费用、后续治疗费用等。
- 若纹身行为对未成年人的身心健康造成了严重损害，家长还可以要求纹身店赔偿精神损害抚慰金。精神损害抚慰金的数额会根据损害程度、纹身店的过错程度以及当地经济水平等因素综合确定。
举证责任：
- 家长需要提供证据证明纹身店存在过错，如纹身店未核实未成年人年龄、未取得家长同意等。
- 同时，家长还需要提供证据证明未成年人的损害与纹身行为之间存在因果关系。
二、行政处罚
法律依据：
- 根据相关法律法规，纹身店向未成年人提供纹身服务可能违反了关于保护未成年人身心健康的规定。
- 相关部门有权对纹身店进行行政处罚，以维护市场秩序和保护未成年人权益。
处罚措施：
- 行政处罚可能包括警告、罚款、没收违法所得、责令停业整顿等。
- 具体处罚措施会根据纹身店的违法情节、造成的后果以及当地相关法律法规的规定来确定。
三、建议行动步骤
收集证据：
- 家长应尽快收集与纹身行为相关的证据，如纹身店的名片、宣传资料、纹身前后的照片、医疗记录等。
- 同时，家长还可以收集目击者证言、监控录像等证据，以证明纹身店存在过错。
与纹身店协商：
- 在收集到足够证据后，家长可以尝试与纹身店进行协商，要求其承担相应的赔偿责任。
- 协商过程中，家长应保持冷静和理性，明确表达自己的诉求和依据。
寻求法律援助或提起诉讼：
- 若协商无果，家长可以寻求法律援助或向法院提起诉讼，要求纹身店承担民事赔偿责任。
- 在提起诉讼前，家长应咨询专业律师的意见，了解诉讼流程和可能的风险。
向相关部门举报：
- 家长还可以向当地的市场监管部门、卫生部门等相关部门举报纹身店的违法行为。
- 相关部门会对纹身店进行调查和处理，以维护市场秩序和保护未成年人权益。
在处理此类纠纷时，家长应保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。如果家长有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见。