结论：在申请再审书提交后，再次向最高人民法院提交申请再审的补充意见，这一行为本身并不违法，但需遵循一定的程序和规定。

详细分析：

1. 再审申请的提交与补充：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审。在提交再审申请书后，如果当事人有新的证据或理由需要补充，通常可以通过提交补充意见的方式来进行。
   • 补充意见的提交，可以视为对原再审申请书的补充和完善，有助于法院更全面地了解当事人的诉求和理由。

2. 向最高人民法院提交补充意见的合法性：

   • 最高人民法院作为最高审判机关，负责审理全国范围内的重大、复杂案件以及具有普遍法律适用意义的案件。如果当事人的再审申请已经提交至最高人民法院，并且法院已经受理，那么在此过程中提交补充意见是合法的。
   • 需要注意的是，补充意见的提交应当遵循法院的具体规定和程序要求，如提交的时间、方式、格式等。如果法院对补充意见的提交有特别规定，当事人应当严格遵守。

3. 提交补充意见时的注意事项：

   • 及时性：补充意见应当在法院规定的期限内提交，以确保法院能够及时审查并纳入再审审理范围。
   • 相关性：补充意见应当与原再审申请书的内容紧密相关，避免提交与案件无关或重复的信息。
   • 证据支持：如果补充意见中涉及新的证据或事实，应当提供相应的证据材料以支持其主张。

4. 可能的法律后果：

   • 如果补充意见被法院采纳，可能会对再审案件的审理结果产生影响。
   • 如果补充意见不符合法院的规定或程序要求，可能会被法院拒绝接受或不予考虑。

建议：

• 在提交再审申请书后，如果当事人有新的证据或理由需要补充，应当及时与法院沟通并了解提交补充意见的具体要求和程序。
• 提交补充意见时，应当确保内容的真实性、合法性和相关性，并提供充分的证据支持。
• 如果对再审申请或补充意见的提交有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见和建议。