保险公司是否负责起诉赔偿，需分情况讨论：

1. 保险合同纠纷中的起诉主体
   若被保险人或受益人认为保险公司未履行合同义务（如拒赔、少赔），通常由被保险人/受益人作为原告向法院起诉保险公司，要求支付保险金。此时保险公司是被告，需应诉并承担举证责任（如证明免责条款成立）。
   例外：若保险公司认为被保险人存在欺诈（如伪造事故证据），可能主动起诉要求撤销合同或确认免责，此时保险公司是原告。

2. 第三方责任险中的追偿权
   在车险、雇主责任险等场景中，若保险公司已向被保险人赔偿，且事故由第三方造成，保险公司可能以原告身份起诉第三方行使代位求偿权。例如：A撞伤B后逃逸，A的保险公司赔付B后，可起诉A追偿。

3. 保险诈骗案件中的刑事报案
   若发现被保险人涉嫌保险诈骗（如虚构事故），保险公司会向公安机关报案，由检察院提起公诉，保险公司作为被害人配合调查，不直接“起诉”但推动刑事程序。

关键提醒：

• 起诉权归属取决于纠纷性质（合同纠纷/侵权纠纷/刑事犯罪）及保险类型（财产险/人身险/责任险）。
  
• 若您遇到保险公司拒赔或需主张权利，建议携带保单、事故证据等材料，我将结合条款和法律分析胜诉率及策略。