关于不予立案后申请立案监督的期限，这主要取决于具体的法律规定和案件类型，但一般来说，并没有一个统一且固定的期限适用于所有情况。不过，我可以从几个关键角度为你详细解析这一问题：

1. 刑事案件中的不予立案与立案监督：

   • 在刑事案件中，如果公安机关认为没有犯罪事实，或者犯罪事实显著轻微，不需要追究刑事责任的时候，不予立案，并且将不立案的原因通知控告人。
   • 控告人如果不服，可以申请复议。对于复议决定仍不服的，可以在收到复议决定书后七日以内向上一级公安机关申请复核。但这里主要涉及的是复议和复核程序，并非直接的立案监督期限。
   • 实际上，在刑事案件中，更常见的立案监督途径是通过人民检察院。控告人如果认为公安机关应当立案而不立案的，可以向人民检察院提出。人民检察院会要求公安机关说明不立案的理由，如果认为理由不成立，会通知公安机关立案。但这一过程中，并没有明确规定一个具体的“申请立案监督的期限”。不过，从实践角度看，控告人应在得知不予立案决定后尽快向人民检察院提出申请，以便及时维护自己的权益。

2. 民事、行政案件中的类似情况：

   • 在民事或行政案件中，如果法院认为不符合立案条件而裁定不予受理，当事人可以对该裁定提起上诉。上诉期限通常是在收到裁定书之日起的一定期限内（如十五日内），具体期限由法律规定。
   • 但这同样不是直接的“申请立案监督的期限”，而是上诉期限。立案监督在民事、行政案件中更多是通过上诉、再审等司法程序来实现的。

3. 一般法律原则与建议：

   • 虽然没有一个统一的“申请立案监督的期限”，但法律原则强调及时、有效地维护当事人的合法权益。因此，如果你认为自己的案件应当被立案而未被立案，应尽快采取行动，向相关机关（如公安机关、人民检察院或法院）提出异议或申请。
   • 在具体操作中，你可以咨询相关机关或专业律师，了解具体的申请流程、所需材料以及可能的期限限制。

总结与建议：

• 不予立案后申请立案监督的期限并没有一个统一且固定的规定，它取决于具体的案件类型、法律规定以及相关机关的处理流程。
• 如果你认为自己的案件应当被立案而未被立案，我建议你尽快咨询相关机关或专业律师，了解具体的申请流程和期限限制，并及时采取行动以维护自己的合法权益。

如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。