在遗体已火化的情况下，要证明私生子关系以及姑姑叔叔与死者的亲属关系，可以通过以下途径进行，我会分情况详细说明：

一、证明私生子关系

1. DNA鉴定（首选方式）

   • 核心依据：DNA鉴定是确定亲子关系最直接、最科学的方法。即使遗体已火化，若留有死者的生物样本（如毛发、牙齿、骨骼碎片、血迹等），仍可进行DNA鉴定。
   • 操作建议：
     • 尽快联系殡仪馆或相关机构，查询是否留有死者的生物样本。
     • 若留有样本，可委托专业司法鉴定机构进行DNA鉴定，将私生子的DNA与死者的DNA进行比对。
     • 若未留有样本，但私生子在世，可尝试通过其他亲属（如死者的父母、兄弟姐妹）的DNA进行间接比对，但这种方法准确性较低，需结合其他证据。

2. 其他证据辅助

   • 出生证明：若私生子出生时，死者作为父亲在出生证明上签字，该证明可作为重要证据。
   • 书面承认：死者生前书写的承认私生子关系的书面材料，如信件、遗嘱等。
   • 证人证言：了解死者与私生子关系的亲友、邻居等提供的证言。
   • 共同生活证据：如照片、视频、共同出行的记录等，证明死者与私生子共同生活或存在密切联系。

二、证明姑姑叔叔与死者的亲属关系

1. 户籍证明

   • 核心依据：户籍证明是证明亲属关系最直接、最官方的文件。
   • 操作建议：
     • 向死者生前的户籍所在地派出所申请查询户籍档案，获取死者与姑姑叔叔的亲属关系证明。
     • 若户籍档案已迁移或遗失，可尝试联系死者生前的居委会、村委会或工作单位，获取相关证明。

2. 其他证据辅助

   • 家族族谱：若家族有族谱记录，可提供族谱作为证明亲属关系的辅助证据。
   • 证人证言：了解死者与姑姑叔叔关系的亲友提供的证言。
   • 共同生活或交往证据：如照片、视频、书信等，证明死者与姑姑叔叔之间存在密切联系。

综合建议

• 尽早行动：由于遗体已火化，部分生物样本可能已无法获取，因此应尽快行动，联系相关机构查询是否留有可用样本。
• 多渠道取证：结合DNA鉴定、户籍证明、书面材料、证人证言等多种证据，形成完整的证据链，提高证明力。
• 咨询专业机构：在取证过程中，可咨询专业司法鉴定机构或律师事务所，获取更具体的指导和帮助。

在处理此类问题时，可能会遇到一些复杂情况，如证据不足、亲属关系争议等。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。