结论：孩子长大后是否对曾在其2岁时抛弃自己的母亲有赡养义务，需分情况讨论，主要取决于母亲是否尽到了抚养义务以及是否存在法定的免除赡养义务的情形。

分析：

1. 一般情况下的赡养义务：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，子女对父母有赡养扶助的义务。这一义务是法定的，不因父母是否曾经抚养过子女而自动免除。然而，这一原则并非绝对，它受到父母是否尽到抚养义务的影响。

2. 母亲未尽抚养义务的情况：

   • 如果母亲在孩子年幼时（如2岁时）抛弃孩子，未尽到抚养义务，那么孩子长大后对母亲的赡养义务可能会受到一定影响。在这种情况下，孩子可以主张母亲未尽抚养义务，从而减轻或免除自己的赡养义务。但需要注意的是，这种减轻或免除并非自动发生，而是需要通过法律程序来确认。
   • 具体来说，孩子可以通过诉讼等方式向法院提出申请，由法院根据母亲未尽抚养义务的具体情况、孩子的经济状况以及母亲的实际情况等因素，综合判断是否减轻或免除孩子的赡养义务。

3. 存在法定免除赡养义务的情形：

   • 除了母亲未尽抚养义务外，还存在一些法定的免除赡养义务的情形。例如，如果母亲有严重伤害子女感情的行为（如虐待、遗弃等），且这种行为导致子女与母亲之间的感情严重破裂，那么子女可以主张免除赡养义务。但同样，这种免除也需要通过法律程序来确认。

4. 特殊情况下的赡养义务：

   • 在某些特殊情况下，即使母亲未尽抚养义务，子女也可能需要承担一定的赡养义务。例如，如果母亲年老体弱、无生活来源且无法独立生活，而子女具备赡养能力，那么法院可能会根据实际情况判决子女承担一定的赡养义务。这体现了法律对弱势群体的保护以及社会公德的要求。

建议：

• 对于此类问题，建议首先尝试通过协商、调解等方式解决。如果无法达成一致意见，再考虑通过法律途径解决。
• 在处理此类纠纷时，应充分收集证据，如母亲未尽抚养义务的证据、子女经济状况的证据等，以便在法律程序中维护自己的合法权益。
• 如有需要，可以寻求专业律师的帮助，以便更准确地理解法律规定并制定合适的诉讼策略。

后续行动：

• 如果你或你身边的人遇到类似问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议和帮助。