当您的劳动合同到期后，公司既没有提出续签也没有提出解除，而您继续在公司工作，这种情况在法律上通常被视为事实劳动关系。以下是对此问题的详细分析以及相应的建议：
事实劳动关系的认定
根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关司法解释，劳动合同期满后，如果您仍在原单位工作，且原单位未表示异议，那么双方之间就形成了事实上的劳动关系。这意味着，即使没有新的书面合同，您与公司之间的劳动关系依然有效，且应继续按照原合同的条款执行。
法律后果与责任
工资支付：
- 公司应当按照原劳动合同的约定或实际履行的标准向您支付工资。
- 如果双方对工资标准有争议，可以参照当地同行业、同岗位的工资水平或政府发布的工资指导价位来确定。
社会保险与福利待遇：
- 公司应继续为您缴纳社会保险费，包括养老保险、医疗保险、失业保险等。
- 您应享受与原劳动合同期间相同的福利待遇，如带薪年假、节日福利等。
双倍工资的风险与权益：
- 自劳动合同期满之日起满一个月的次日至满一年的前一日，如果公司未与您签订新的书面劳动合同，根据《劳动合同法》第八十二条的规定，公司应当向您每月支付两倍的工资作为补偿。
- 如果这种情况持续满一年，那么自满一年的当日，视为您与公司已经订立了无固定期限的劳动合同，公司应当立即与您补订书面劳动合同。
经济补偿金：
- 如果因公司的原因导致未续签劳动合同，且最终解除或终止劳动关系的，公司可能需要支付经济补偿金。
- 经济补偿金的计算通常按照您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。
具体应对措施与建议
主动与公司沟通：
- 建议您选择合适的时间与公司的人力资源部门或上级领导进行沟通，明确表达您希望续签劳动合同的意愿。
- 沟通时，尽量采用书面形式（如邮件、书面申请等），并保留好相关凭证。在邮件中，您可以提及您在公司的工作表现、对公司的贡献以及您对续签合同的期望，同时询问公司对于续签合同的安排和态度。
持续收集工作证据：
- 在等待公司回复的过程中，务必注意收集能够证明您与公司存在劳动关系的证据。这些证据对于后续可能发生的劳动纠纷至关重要。
- 证据包括但不限于工资支付记录（银行工资流水）、工作证、考勤记录、工作成果文件以及与同事或客户的业务往来邮件等。
考虑法律途径维权：
- 如果与公司沟通后，公司仍拒绝续签劳动合同或拖延不处理，并且您在合同到期一个月后仍未得到双倍工资补偿，那么您可以考虑向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 在申请仲裁前，请确保已准备好充分的证据材料，并撰写好仲裁申请书，明确您的仲裁请求，如要求公司支付双倍工资差额、签订无固定期限劳动合同等。
保持理性与冷静：
- 在整个过程中，保持理性和冷静至关重要。通过合法、合理的方式维护自己的权益，避免采取过激行为或言辞，以免影响您的职业声誉和未来的职业发展。
综上所述，当劳动合同到期后公司既未续签也未解雇您时，您应了解并行使自己的合法权益。通过主动与公司沟通、持续收集证据以及必要时考虑法律途径维权，您可以有效地保护自己的劳动权益不受侵害。