老板在员工于工厂打人的情况下，确实有权开除该员工，但具体是否合法需视情况而定。以下是从不同角度的详细分析：
从劳动合同和规章制度的角度：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。如果工厂的规章制度中明确规定了禁止打架斗殴等暴力行为，并且该员工确实违反了这一规定，那么老板有权依据规章制度开除该员工。
- 关键点：规章制度必须合法、合理且经过民主程序制定，同时需要向员工公示或告知。如果规章制度存在违法或不合理之处，或者未向员工公示，那么以此为依据开除员工可能构成违法解除。
从违法行为的严重性角度：
- 如果员工的打架行为不仅违反了工厂的规章制度，还触犯了法律，如构成故意伤害罪等，那么老板开除该员工的行为通常会被视为合法。因为此时员工的违法行为已经严重损害了工厂的利益和声誉，老板有权采取严厉措施。
- 关键点：需要证明员工的打架行为确实构成了违法行为，并且这一行为与工厂的利益和声誉受到了严重损害之间存在因果关系。
从开除程序的合法性角度：
- 即使员工存在打架等严重违反规章制度或法律的行为，老板在开除员工时也需要遵循一定的程序。例如，需要事先将理由通知工会（如果工厂有工会的话），并听取工会的意见；如果员工对开除决定不服，老板还需要提供充分的证据来支持自己的决定。
- 关键点：开除程序必须合法合规，否则即使员工存在过错，老板的开除决定也可能被认定为违法。
特殊情况下的考虑：
- 如果员工的打架行为是由于工作原因引起的，或者是在执行工作任务过程中发生的，那么老板在开除员工时需要更加谨慎。因为此时员工的打架行为可能与工作有关，老板需要承担一定的管理责任。
- 关键点：需要分析打架行为的具体原因和背景，以及老板在事件中的管理责任。如果老板存在管理疏忽或过错，那么开除员工可能构成违法解除。
建议：
- 对于老板而言，在开除员工前应当仔细审查员工的打架行为是否违反了工厂的规章制度或法律，并确保开除程序合法合规。
- 对于员工而言，如果认为自己被违法开除，可以依法向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求老板支付赔偿金或恢复劳动关系。
后续行动：
- 如果你或你身边的人遇到了类似的情况，可以直接向我咨询具体的法律问题和应对策略。我会根据你的具体情况提供详细的法律建议和帮助。