林场职工私自挖树属于违法行为，需根据具体情况承担相应法律责任，具体处理方式如下：

1. 民事责任层面
   若私自挖树行为导致林场经济损失（如树木价值、生态修复费用等），林场有权要求职工赔偿。根据《民法典》第1165条，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。赔偿范围包括：

   • 树木本身的市场价值（按树种、树龄、用途等评估）；
     
   • 因挖树导致的间接损失（如土地破坏修复费用、相邻树木受损赔偿等）。
     建议：林场应保留树木价值评估报告、现场照片等证据，通过协商或诉讼主张权利。

2. 行政责任层面
   若挖树行为违反《森林法》或地方林业管理条例，可能面临行政处罚：

   • 未经批准采伐林木：根据《森林法》第56条，采伐林木需申请采伐许可证。若职工无证采伐，林业主管部门可责令补种树木，并处以罚款（罚款标准为滥伐林木价值3-5倍）；
     
   • 破坏生态公益林：若挖树涉及生态公益林，处罚可能更严厉，包括更高额罚款或责令限期恢复原状。
     建议：林场应及时向当地林业局举报，由行政部门立案调查并处罚。

3. 刑事责任层面
   若挖树行为符合《刑法》第345条“盗伐林木罪”或“滥伐林木罪”构成要件，可能被追究刑事责任：

   • 盗伐林木罪：以非法占有为目的，擅自砍伐国家、集体或他人所有林木，数量较大的（如立木蓄积5立方米以上或幼树200株以上），处3年以下有期徒刑、拘役或管制，并处或单处罚金；
     
   • 滥伐林木罪：违反森林法规定，未经许可采伐林木，数量较大的（如立木蓄积15立方米以上或幼树500株以上），处3年以下有期徒刑、拘役或管制，并处或单处罚金。
     注意：若职工挖树是为个人使用且数量较小，可能不构成犯罪，但仍需承担行政或民事责任。
     建议：林场应立即报警，由公安机关立案侦查，并配合提供证据（如监控录像、证人证言等）。

4. 内部管理层面
   林场可依据内部规章制度（如《职工管理条例》《林木保护规定》）对涉事职工进行处分，包括：

   • 警告、记过、降级等行政处分；
     
   • 扣发奖金、绩效工资等经济处罚；
     
   • 若行为严重违反劳动合同，可依法解除劳动合同。
     建议：林场应完善内部管理制度，明确禁止私自挖树行为，并加强职工法律培训。

总结：林场职工私自挖树可能同时涉及民事赔偿、行政处罚甚至刑事责任，林场应根据损失程度、行为性质选择合适维权路径。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体法律问题。