结论：私人打工没有医疗期的情况需分情况处理，若存在事实劳动关系，可依法主张医疗期权益；若属于劳务关系，则需通过协商或合同约定保障自身权益。以下是具体分析：

1. 确认劳动关系性质
   首先需明确你与雇主之间是劳动关系还是劳务关系。

   • 劳动关系：若符合《关于确立劳动关系有关事项的通知》中“用人单位招用劳动者未订立书面劳动合同，但同时具备下列情形的，劳动关系成立：（一）用人单位和劳动者符合法律、法规规定的主体资格；（二）用人单位依法制定的各项劳动规章制度适用于劳动者，劳动者受用人单位的劳动管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动；（三）劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分”的条件，则属于劳动关系，即使未签合同，仍受《劳动法》《劳动合同法》保护。
     
   • 劳务关系：若为临时性、短期性工作，或雇主为个人（如家庭雇保姆），则可能属于劳务关系，不受劳动法调整，医疗期权益需通过合同约定或协商解决。

2. 劳动关系下的医疗期权益
   若确认存在劳动关系，根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，你享有法定医疗期：

   • 医疗期长度：根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，医疗期为3-24个月（如实际工作10年以下、本单位工作5年以下的为3个月）。
     
   • 待遇保障：医疗期内，用人单位不得解除劳动合同，且需支付病假工资（不得低于当地最低工资标准的80%）。
     
   • 维权途径：若雇主拒绝提供医疗期，可向当地劳动监察大队投诉，或申请劳动仲裁，主张医疗期工资、继续履行合同等权益。

3. 劳务关系下的权益保障
   若属于劳务关系，法律未强制要求雇主提供医疗期，但可通过以下方式维护权益：

   • 合同约定：若双方签订了劳务合同，可检查合同中是否约定了病假待遇或医疗期条款，如有则按合同执行。
     
   • 协商解决：与雇主沟通，说明病情及治疗需求，争取短期病假或适当补偿。
     
   • 人身损害赔偿：若因工作导致患病或受伤（如职业病），可依据《民法典》侵权责任编，主张雇主承担医疗费、误工费等赔偿责任。

4. 建议行动步骤

   • 收集证据：保留工资支付记录、工作安排记录、医疗证明等，证明劳动关系或劳务关系及患病事实。
     
   • 与雇主沟通：书面提出医疗期申请，明确病情、治疗期限及待遇需求。
     
   • 寻求法律帮助：若协商无果，可携带证据向我咨询，我将协助分析案情并制定维权方案。

提示：医疗期权益与劳动关系性质密切相关，建议优先确认法律关系类型，再针对性主张权利。如有疑问，可直接向我提供更多细节（如工作性质、合同情况等），我将进一步解答。