结论：能否申请继续上班需分情况讨论，主要取决于您与学校食堂的用工关系性质（劳动关系还是劳务关系），以及学校的相关规章制度。以下是具体分析：

1. 若您与学校食堂构成劳动关系
   根据《劳动合同法》及《劳动合同法实施条例》，劳动者达到法定退休年龄（男60周岁，女工人50周岁、女干部55周岁）时，劳动合同终止。若您已年满60周岁，原则上劳动合同已自然终止，学校无需再与您续签合同。但存在例外情形：

   • 若您虽达到退休年龄，但未依法享受基本养老保险待遇（如未缴满15年社保），根据司法实践，部分地区法院可能认定劳动关系仍存续，此时您可与学校协商续签劳动合同或签订劳务协议继续工作。
     
   • 若学校同意您继续工作，双方可签订劳务合同（非劳动合同），明确工作内容、报酬、工作时间等，但此时您不再受《劳动合同法》保护（如无法主张经济补偿金、未签合同双倍工资等）。

2. 若您与学校食堂构成劳务关系
   若您已超过法定退休年龄且已享受养老保险待遇，或双方自始以劳务形式合作（如签订《退休返聘协议》），则您与学校属于劳务关系。此时：

   • 劳务关系不受《劳动合同法》调整，是否继续工作完全由双方协商决定。您可向学校提出继续工作的申请，学校有权根据自身需求（如岗位编制、工作安排等）决定是否同意。
     
   • 若学校同意，建议签订书面劳务协议，明确权利义务（如报酬、工作时间、解除条件等），避免口头约定引发纠纷。

3. 学校规章制度的影响
   即使法律允许继续工作，学校作为用人单位可能通过内部规章制度对退休人员返聘作出限制（如“到龄必须离岗”“返聘需经特定审批流程”等）。若学校有此类规定且已向您公示，您需遵守；若无规定或规定违法（如歧视性条款），您可主张权利。

建议行动步骤：

1. 确认用工关系性质：查看您与学校签订的合同名称及内容（如是否约定“劳动合同”“社保缴纳”“退休待遇”等），或向学校人事部门咨询。
   
2. 与学校协商：若希望继续工作，可向学校提交书面申请，说明身体状况、工作能力及继续工作的意愿，并询问学校政策。
   
3. 留存证据：若学校同意返聘，务必签订书面协议；若遭拒绝，可要求学校出具书面说明（如“因达到退休年龄不再续聘”），作为后续维权依据。
   

如有其他细节（如是否享受养老保险、学校具体规定等），可进一步向我说明，我会为您细化分析。