行政机关不履行职责的起诉期限，根据具体情况和法律规定，主要分为以下几种情况：

1. 一般情况下的起诉期限：

   • 根据《中华人民共和国行政诉讼法》第四十六条的规定，公民、法人或者其他组织直接向人民法院提起诉讼的，应当自知道或者应当知道行政机关不履行法定职责之日起六个月内提出。这是起诉行政不作为的一般期限，适用于大多数情况。
   • 举例：如果行政机关在接到申请后，未在规定期限内作出处理决定，公民、法人或其他组织可以在知道或应当知道该不作为行为之日起六个月内向法院提起行政诉讼。

2. 涉及不动产的特殊起诉期限：

   • 对于因不动产提起诉讼的案件，如果自行政行为作出之日起超过二十年，人民法院将不予受理。这意味着，如果行政机关的不作为行为与不动产相关，且从行政行为作出之日起已超过二十年，则无法再通过诉讼途径寻求救济。
   • 举例：若行政机关未履行对某块土地的管理职责，且该不作为行为自作出之日起已超过二十年，那么相对人将无法再就此提起行政诉讼。

3. 其他案件的特殊起诉期限：

   • 除了涉及不动产的案件外，其他案件自行政行为作出之日起超过五年提起诉讼的，人民法院同样不予受理。这是起诉期限的例外情况，也称为最长保护期限。
   • 举例：若行政机关未履行对某项行政许可的审批职责，且该不作为行为自作出之日起已超过五年，那么相对人将无法再就此提起行政诉讼。

4. 起诉期限的起算点：

   • 一般情况下，起诉期限从公民、法人或其他组织知道或者应当知道行政机关不履行法定职责之日起计算。
   • 在某些情况下，如果法律规定了行政机关履行职责的明确期限，而行政机关在该期限内未履行职责，则从期限届满之日起计算起诉期限。例如，如果法律规定行政机关应在收到申请后30日内作出答复，而行政机关未在30日内答复，则从第31日开始计算起诉期限。

5. 特殊情况下的处理：

   • 如果公民、法人或其他组织不知道行政机关作出的行政行为内容，其起诉期限从知道或者应当知道该行政行为内容之日起计算。但需注意，对于涉及不动产的行政行为，从作出之日起超过二十年提起诉讼的，人民法院不予受理；对于其他行政行为，从作出之日起超过五年提起诉讼的，同样不予受理。
   • 如果当事人因不可抗力或其他不属于其自身的原因耽误了起诉期限，被耽误的时间不计算在起诉期限内。此外，当事人还可以在障碍消除后的十日内向法院提出延长起诉期限的申请，但这一申请需要由法院根据具体情况裁定是否批准。

法律建议：

• 由于行政诉讼的起诉期限相对较短，且涉及复杂的法律判断，建议当事人在发现行政机关不履行法定职责时，尽快向我咨询并准备起诉材料，以免错过诉讼时效。
• 在准备起诉材料时，应尽可能收集并保留相关证据，如申请书、行政机关的答复（如有）、相关法律法规等，以便在诉讼中证明自己的主张。

可能法律后果：

• 如果当事人未在法定期限内提起行政诉讼，且不存在法定延长或中止的情形，那么法院将不予受理其起诉，当事人将丧失通过诉讼途径寻求救济的机会。
• 因此，当事人应严格遵守法定期限，及时行使诉权，以维护自己的合法权益。