不履行职责的起诉期限因具体情形而异，通常在六个月内，但也可能因特殊原因而有所延长。
一. 一般规定
- 起诉期限：根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，公民、法人或者其他组织直接向人民法院提起诉讼的，应当自知道或者应当知道作出行政行为之日起六个月内提出。这是关于行政诉讼起诉期限的一般规定，不履行职责的起诉也应遵循这一期限。
二. 特殊情形的延长
- 不可抗力或其他不属于自身原因：如果因不可抗力或者其他不属于起诉人自身的原因耽误了起诉期限，那么被耽误的时间将不计算在起诉期限内。这意味着，在这种情况下，起诉期限可以得到相应的延长。
- 其他特殊情况：除了不可抗力外，如果因其他特殊情况耽误了起诉期限，起诉人可以在障碍消除后十日内申请延长期限。是否准许延长期限，由人民法院根据实际情况进行决定。
三. 实例说明
- 假设某公民因行政机关不履行职责而决定提起诉讼，但他因重病住院无法按时提起诉讼。在这种情况下，他的起诉期限可以因“不可抗力或其他不属于自身原因”而得到延长。一旦他康复并能够提起诉讼，他可以向人民法院申请延长起诉期限，并附上相关证明材料。
我建议，在面临不履行职责的起诉问题时，首先应明确起诉的具体情形和法律依据。如果因特殊原因耽误了起诉期限，应及时向人民法院申请延长期限，并附上充分的证明材料。如有进一步需要，您可以继续咨询我。