结论：辞职手续未办完时，是否可以与其他公司签订第三方合同，需根据具体情况判断，主要涉及原劳动合同的解除状态、新合同的性质及内容等因素。以下从不同角度进行分析：
一、原劳动合同未解除时签订第三方合同的风险
法律风险：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在未与原用人单位解除劳动合同的情况下，与其他用人单位签订劳动合同或建立劳动关系，可能构成双重劳动关系。虽然法律并未完全禁止双重劳动关系，但原用人单位有权要求劳动者承担违约责任，特别是当劳动者违反竞业限制或保密义务时。
- 如果新签订的第三方合同涉及与原用人单位的竞争业务，且劳动者未履行离职手续中的竞业限制或保密义务，可能面临法律纠纷和赔偿责任。
实际操作风险：
- 未办完辞职手续即与其他公司签订合同，可能导致原用人单位拒绝出具离职证明、办理社保转移等手续，影响劳动者在新公司的入职和社保缴纳。
- 新公司可能因劳动者未与原公司解除劳动关系而对其诚信度产生质疑，影响劳动者的职业声誉和未来发展。
二、原劳动合同已解除或视为解除时签订第三方合同
法律合规性：
- 如果劳动者已与原用人单位协商一致解除劳动合同，或原劳动合同因期满、用人单位解散等原因而终止，劳动者在办理完离职手续后，可以与其他公司签订第三方合同，此时不存在法律风险。
- 劳动者应确保已收到原用人单位出具的离职证明，并办理完社保、公积金等转移手续，以避免后续纠纷。
实际操作建议：
- 在签订新合同前，劳动者应主动向新公司说明与原公司的劳动关系状态，避免隐瞒或误导新公司。
- 劳动者可以要求新公司在合同中明确约定入职条件，如“需提供原用人单位出具的离职证明”等，以保障自己的合法权益。
三、特殊情况下的处理
非全日制劳动关系：
- 如果劳动者与原用人单位建立的是非全日制劳动关系，且不影响新工作的履行，劳动者在未办完辞职手续的情况下，可能可以与其他公司签订第三方合同。但需注意，非全日制劳动者在同一用人单位一般平均每日工作时间不超过四小时，每周工作时间累计不超过二十四小时，且不得订立书面劳动合同（除非双方约定）。
劳务派遣或业务外包：
- 如果劳动者通过劳务派遣或业务外包的形式为新公司提供服务，且不与新公司直接建立劳动关系，那么劳动者在未办完辞职手续的情况下，可能可以签订相关协议。但需注意，劳务派遣和业务外包涉及复杂的法律关系，劳动者应谨慎选择并了解相关法律规定。
建议：
- 在辞职手续未办完的情况下，劳动者应谨慎考虑是否与其他公司签订第三方合同。如果确实需要签订，应确保已与原用人单位协商一致解除劳动合同或履行完相关离职手续，并主动向新公司说明情况。
- 劳动者在签订新合同时，应仔细阅读合同条款，特别是关于入职条件、违约责任、竞业限制等方面的内容，以避免后续纠纷。
- 如有任何疑问或不确定之处，劳动者应及时咨询专业律师或法律机构，以保障自己的合法权益。
如有更多关于劳动工伤或合同纠纷的问题，欢迎直接向我咨询。