结论：单位因您请假照顾生病的孩子而辞退您，这一行为很可能构成违法解除劳动合同，您有权要求单位支付赔偿金或选择继续履行劳动合同。以下从不同角度为您详细分析：
一、法律背景与规定
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者享有休息休假的权利，且在特定情况下（如患病、非因工负伤等）享有医疗期。在医疗期内，用人单位不得随意解除劳动合同。虽然直接的法律条款可能并未明确提及“照顾生病孩子”这一具体情形，但根据劳动法的立法精神，劳动者因家庭原因（如照顾生病的孩子）需要请假，且该请假行为合理且符合单位规章制度（或已得到单位批准）的，单位不应以此为由解除劳动合同。
二、单位行为的合法性分析
若请假符合单位规章制度且已获批准：
- 单位以您请假照顾孩子为由辞退您，显然缺乏合法依据，构成违法解除劳动合同。
- 您有权要求单位支付违法解除劳动合同的赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿金的两倍，经济补偿金按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。
若请假未获单位批准或违反单位规章制度：
- 即便如此，单位也不能直接辞退您，而应先根据规章制度进行警告、扣罚等处理。
- 只有在您严重违反单位规章制度，且该规章制度经过民主程序制定并公示，同时符合法律法规的规定时，单位才有权解除劳动合同。
- 在实际操作中，因照顾生病孩子而请假通常不会被认定为“严重违反规章制度”。
三、您的应对策略与建议
收集证据：
- 保留好请假条、单位批准请假的记录（如邮件、短信、微信等）、工资条、劳动合同等证据材料。
- 这些证据将有助于您证明单位违法解除劳动合同的事实。
与单位协商：
- 在掌握充分证据的基础上，您可以先尝试与单位进行协商，要求单位支付赔偿金或继续履行劳动合同。
- 协商过程中，保持冷静和理性，明确表达自己的诉求和依据。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求单位支付赔偿金或继续履行劳动合同。
- 劳动仲裁是解决劳动争议的一种有效方式，其裁决具有法律效力。
寻求法律援助：
- 如果您在劳动仲裁过程中遇到困难或需要进一步的法律帮助，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律意见和帮助。
四、可能的法律后果
如果单位被认定为违法解除劳动合同：
- 单位需要向您支付赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿金的两倍。
- 如果您选择继续履行劳动合同，单位还需要恢复您的劳动关系，并补发因违法解除劳动合同而少发的工资等。
如果单位被认定为合法解除劳动合同（这种情况较为罕见）：
- 您将无法获得赔偿金或要求继续履行劳动合同。
- 但这种情况需要单位提供充分的证据证明您严重违反了单位规章制度，且该规章制度符合法律法规的规定。
最后，我想强调的是，每个劳动争议案件都有其独特的事实和法律背景，因此上述分析仅供参考。如果您遇到类似问题，建议直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细、更专业的法律意见和帮助。