核心结论：家长在事发一个月后报警，学校和涉事学生家长需积极配合警方调查，同时可依据实际情况从法律责任、学校处理程序、协商调解等角度应对。以下是具体分析：

1. 法律责任角度：区分情况承担责任

• 民事赔偿：若打架导致孩子受伤（如皮外伤、骨折等），根据《民法典》第1188条，无民事行为能力人（8周岁以下）或限制民事行为能力人（8-18周岁）造成他人损害的，由监护人承担侵权责任。即使事发时学校已调解，家长仍有权通过法律途径主张赔偿（如医疗费、护理费等），但需在诉讼时效内（一般为3年）提出。
• 行政责任：若打架行为构成违反《治安管理处罚法》（如故意伤害他人身体），但因涉事孩子未满14周岁，不予处罚；已满14周岁不满18周岁的，从轻或减轻处罚。警方可能对涉事孩子进行批评教育或训诫，并要求家长加强管教。
• 刑事责任：若打架造成重伤或死亡等严重后果，且涉事孩子已满12周岁（根据《刑法》修正案十一，特定情形下需负刑事责任），可能涉及刑事责任，但此类情况极为罕见。

2. 学校处理程序角度：配合调查与补充说明

• 学校需向警方提供事发时的调查记录、调解协议（如有）、监控录像（如有）等材料，说明已采取的措施（如批评教育、通知家长等）。
• 若学校在事发时未履行法定职责（如未及时制止、未通知家长、未送医等），可能因“未尽到教育管理职责”承担补充责任（《民法典》第1200条），但需家长举证学校存在过错。

3. 协商调解角度：优先通过沟通解决

• 家长报警后，警方可能组织双方调解。此时可结合事发时的调解结果（如已赔偿、道歉等），协商补充赔偿或达成新的和解协议。
• 若调解不成，家长可能通过诉讼解决。此时需准备证据（如医疗记录、证人证言、学校调解记录等），证明己方损失与对方行为的因果关系。

4. 实务建议：主动应对，避免被动

• 涉事家长：主动联系报警家长，了解诉求（如赔偿金额、道歉方式等），协商解决方案；若对方要求合理，可尽快履行以减少纠纷升级风险。
• 学校：复盘事发时的处理流程，确保符合《未成年人保护法》《学生伤害事故处理办法》等规定；若处理存在瑕疵，可主动向警方或家长说明情况，降低责任风险。
• 共同注意：避免激化矛盾，如拒绝沟通、推诿责任等，否则可能引发对方进一步维权（如投诉至教育局、媒体曝光等）。

总结：家长报警后，需根据打架后果的严重程度区分法律责任，优先通过协商或调解解决；学校需配合调查并证明已尽管理职责。若涉及复杂情况（如伤情鉴定、责任划分争议），可进一步向我咨询具体应对方案。