遇到政府部门相互推卸责任的情况，您可以采取以下措施来维护自己的合法权益：
明确责任主体与法律依据：
- 首先，您需要明确具体是哪个或哪些政府部门在推卸责任，以及他们应当承担的法律责任。这通常需要您查阅相关的法律法规、政策文件或政府公告，了解政府部门的职责划分和权力清单。例如，如果您遇到的是拆迁安置问题，那么您需要查阅《国有土地上房屋征收与补偿条例》等相关法规，明确哪个部门负责拆迁安置工作。
收集证据并记录过程：
- 在与政府部门沟通的过程中，务必保留好所有相关的书面材料、电子邮件、短信记录、通话录音等证据。这些证据将有助于您后续维权时证明自己的主张。同时，详细记录每次与政府部门沟通的时间、地点、参与人员、沟通内容以及结果，以便在需要时提供完整的证据链。
向上级部门或监察机关投诉：
- 如果您认为某个政府部门在推卸责任，您可以向该部门的上级部门或同级监察机关进行投诉。投诉时，您需要提供详细的证据材料和情况说明，以便上级部门或监察机关能够准确了解问题并作出处理。例如，如果您认为某区政府的某个部门在推卸责任，您可以向该区政府的上级市政府或该区的监察委员会进行投诉。
申请行政复议或提起行政诉讼：
- 如果您认为政府部门的推卸责任行为已经侵犯了您的合法权益，您可以根据《中华人民共和国行政复议法》或《中华人民共和国行政诉讼法》的规定，向有管辖权的行政复议机关申请行政复议，或者向人民法院提起行政诉讼。在申请行政复议或提起行政诉讼时，您需要提交详细的申请书或起诉状，并附上相关证据材料。
寻求法律援助或咨询专业律师：
- 在处理此类问题时，如果您感到困惑或无助，可以寻求法律援助机构的帮助或咨询专业律师。法律援助机构可以为您提供免费的法律咨询和代理服务，而专业律师则可以根据您的具体情况提供个性化的法律建议和解决方案。作为专业律师，我建议您在遇到复杂或疑难的法律问题时，及时咨询专业律师以获取更准确的法律意见。
在采取上述措施时，您需要注意以下几点：
- 保持冷静与理性：在与政府部门沟通或处理法律纠纷时，保持冷静与理性至关重要。避免情绪化的言行，以免加剧矛盾或影响问题的解决。
- 遵守法律程序：在申请行政复议或提起行政诉讼时，务必遵守相关的法律程序和规定。确保您的申请或起诉符合法定条件，并按照规定的时间和方式提交相关材料。
- 持续跟进与反馈：在投诉、申请行政复议或提起行政诉讼后，持续跟进案件的进展情况，并及时向相关部门或法院反馈您的意见和诉求。这有助于推动问题的解决并维护您的合法权益。
最后，我想强调的是，政府部门相互推卸责任的行为是不被允许的，也是违法的。如果您遇到了此类问题，不要害怕或退缩，勇敢地站出来维护自己的合法权益。同时，也请您相信法律的力量和公正性，通过合法途径解决问题是最有效的方式。如果您在处理过程中遇到任何困难或疑问，随时都可以向我咨询。