当发现员工合同到期未续签时，无论是从员工角度还是公司角度，都需要根据具体情况和法律规定来妥善处理。以下是一份详细且有条理的处理指南：
从员工角度出发
若仍在公司工作：
- 双倍工资赔偿：如果合同到期后你继续在公司正常工作，而公司未及时续签劳动合同，自原合同期满次日起超过一个月不满一年未订立书面劳动合同的，你有权要求公司每月支付二倍的工资作为赔偿。
- 协商与投诉：首先，尝试与公司友好协商，提醒续签合同并主张赔偿。若协商无果，可以向当地劳动监察部门投诉，或者直接申请劳动仲裁来维护自身权益。
若不想继续工作：
- 提前通知：你需要提前通知公司不再续签劳动合同的意向。一般情况下，除非公司降低劳动合同约定条件续订而你不同意，否则你无权获得经济补偿。
- 离职结算：在离职时，确保你的工资、加班费、年假补偿等权益得到结算，并要求公司出具离职证明。
从公司角度出发
若希望员工留任：
- 及时沟通：公司应在原合同到期前与员工沟通续签事宜。若员工同意续签，应及时签订新合同。
- 补签与赔偿：如因疏忽未及时续签但员工仍在工作，公司应尽快补签劳动合同，并对自原合同期满次日起至补签前的期间，可能需要支付双倍工资。
若不希望员工留任：
- 书面通知：公司应在合同到期前以书面形式通知员工不再续签。
- 经济补偿：根据《劳动合同法》，除非公司维持或提高劳动合同约定条件续订而员工不同意的情况外，劳动合同期满终止的，公司应向员工支付经济补偿。补偿标准按员工在本单位工作年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 离职手续：在员工离职时，公司需按规定结算工资、支付经济补偿，并出具解除或终止劳动合同的证明，同时在十五日内为员工办理档案和社会保险关系转移手续。
共同注意事项
- 双方意愿：合同到期是否续签，需基于双方的共同意愿。任何一方不愿续签，合同即自然终止。
- 及时协商：无论续签与否，双方都应及时进行沟通协商，并在合同到期一个月内完成新合同的签订或明确终止意向。
- 法律义务：在合同关系处理过程中，双方都应遵守相关法律法规，确保员工权益得到妥善保障，避免不必要的法律纠纷。
特殊情况处理
- 法定顺延情形：如女职工在孕期、产期、哺乳期，劳动合同期满时应续延至相应情形消失时终止。用人单位不得以合同到期为由终止劳动合同，否则构成违法解除，需支付赔偿金（经济补偿标准的二倍）。
综上所述，劳动合同到期未续签的处理需根据具体情况而定。双方应明确各自的权利和义务，依法进行操作，以确保双方的合法权益得到妥善保护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，建议咨询专业律师或劳动法律机构。