您好，关于您提出的“执行期间能否申请再审”的问题，我可以为您详细解答。

首先，要明确的是，当事人在执行期间是可以申请再审的。再审程序是法律赋予当事人的一种救济途径，用于纠正已经发生法律效力的判决、裁定或调解书中可能存在的错误。

具体来说，根据相关法律规定，当事人的申请若符合以下情形之一，人民法院应当再审：

1. 有新的证据，足以推翻原判决、裁定的；
2. 原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明的；
3. 原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的；
4. 原判决、裁定认定事实的主要证据未经质证的；
5. 对审理案件需要的主要证据，当事人因客观原因不能自行收集，书面申请人民法院调查收集，人民法院未调查收集的；
6. 原判决、裁定适用法律确有错误的；
7. 审判组织的组成不合法或者依法应当回避的审判人员没有回避的；
8. 无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼或者应当参加诉讼的当事人，因不能归责于本人或者其诉讼代理人的事由，未参加诉讼的；
9. 违反法律规定，剥夺当事人辩论权利的；
10. 未经传票传唤，缺席判决的；
11. 原判决、裁定遗漏或者超出诉讼请求的；
12. 据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或者变更的；
13. 审判人员审理该案件时有贪污受贿，徇私舞弊，枉法裁判行为的。

此外，对于已经发生法律效力的调解书，如果当事人能提出证据证明调解违反自愿原则或者调解协议的内容违反法律的，也可以申请再审。

申请再审的流程通常包括提交再审申请书等材料，人民法院在收到申请后会进行审查，并在一定期限内作出是否再审的裁定。如果裁定再审，原判决、裁定、调解书的执行可能会被中止，但某些特定类型的案件（如追索赡养费、扶养费等）可以不中止执行。

申请再审的期限一般是在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出，但如果有新的证据等特定情形，期限可能会从知道或应当知道之日起计算。

最后，需要提醒的是，当事人对已经发生法律效力的解除婚姻关系的判决、调解书，是不得申请再审的。

希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。