在当事人死亡的情况下，其继承人或相关权利人通常可以继续推进诉讼程序，包括上诉，但具体需根据案件类型、诉讼阶段及权利义务承继情况综合判断。以下分情况详细说明：

1. 民事诉讼中的权利承继
   根据《民事诉讼法》第154条及司法解释，当事人死亡后，若其民事权利义务存在承继人（如继承人、遗产管理人等），诉讼程序可由承继人继续参与。例如：

   • 一审阶段：若当事人在一审中死亡，法院会裁定中止诉讼，通知其继承人作为当事人承担诉讼；
     
   • 二审阶段：若当事人在二审中死亡，若其继承人表明参加诉讼，法院可直接变更当事人并继续审理；若无人承继，则可能终结诉讼（但涉及遗产的除外）。
     关键点：需证明继承关系（如遗嘱、继承权公证书等），且诉讼标的需与遗产或继承人权益直接相关。

2. 刑事诉讼中的特殊规则
   刑事案件中，被害人死亡时，其法定代理人、近亲属可代为提起附带民事诉讼或继续参与诉讼。例如：

   • 自诉案件：被害人死亡后，其法定代理人可直接提起自诉或继续诉讼；
     
   • 公诉案件：被害人死亡不影响公诉程序，但其近亲属可就附带民事赔偿部分上诉；
     
   • 被告人死亡：根据《刑事诉讼法》第16条，诉讼终止，但若涉及财产部分（如罚金、没收财产），法院可继续审理。
     关键点：刑事诉讼中，被告人死亡通常导致诉讼终结，但被害人近亲属的民事权利仍可主张。

3. 行政诉讼中的承继规则
   行政诉讼中，若原告死亡，其近亲属可承继诉讼；若被告（行政机关）被撤销，由继续行使其职权的行政机关作为被告。例如：

   • 原告死亡后，其继承人需在6个月内表明参加诉讼，否则可能按撤诉处理；
     
   • 若原告无继承人或继承人放弃权利，诉讼终结。
     关键点：行政诉讼的承继需严格符合主体资格，且诉讼标的需与原行政行为直接相关。

4. 执行程序中的权利承继
   若当事人死亡时案件已进入执行阶段，其继承人可在遗产范围内承担义务或主张权利。例如：

   • 被执行人死亡，法院可裁定变更被执行人为其继承人，但仅以遗产为限；
     
   • 申请执行人死亡，其继承人可申请变更为申请执行人，继续执行程序。
     关键点：执行承继需以遗产实际存在为前提，且需通过法院裁定变更主体。

行动建议：

1. 立即收集死亡证明、继承关系证明（如户口本、公证书）等材料；
   
2. 根据案件类型，向法院提交《参加诉讼申请书》或《变更当事人申请书》；
   
3. 若涉及上诉，需在法定期限内（民事15日、刑事10日）提交上诉状，并注明承继人身份；
   
4. 委托律师协助处理诉讼主体变更、证据梳理及上诉策略制定。
   

风险提示：

• 若未及时承继诉讼，可能导致程序终结或权利丧失；
  
• 继承范围需以遗产为限，超出部分可能无法主张；
  
• 不同地区法院对主体承继的审查标准可能存在差异，需提前与承办法官沟通。
  

如有进一步疑问，可直接向我提供案件类型、诉讼阶段等具体信息，我将结合实务经验为您制定详细方案。