结论：您可以拒绝纹身店清洗纹身的要求，并有权要求经济赔偿。具体分析如下：

一、纹身店为未成年人提供纹身服务的违法性

根据《中华人民共和国未成年人保护法》第十七条第（四）项规定，未成年人的父母或其他监护人不得放任未成年人从事不良行为，包括纹身。虽然该条款未直接规定纹身店的责任，但结合该法第五十八条、第六十条、第六十五条等条款对场所运营单位的行为规范，可以推断出纹身店作为可能对未成年人产生不利影响的服务提供者，应当履行相应的注意义务，包括核实年龄、告知风险等。此外，如《浙江省未成年人保护条例》等地方性法规更是明确规定，任何单位和个人不得向未成年人提供纹身服务。因此，纹身店为17周岁的未成年人提供纹身服务，显然违反了相关法律法规。

二、纹身店的责任承担

1. 赔偿责任范围：

   • 清洗纹身费用：由于纹身店违规为未成年人提供纹身服务，导致未成年人需要清洗纹身，因此产生的清洗费用应由纹身店承担。
   • 身体损伤治疗费用：如果纹身过程中或清洗过程中造成了未成年人的身体损伤，纹身店还应承担相应的治疗费用。
   • 精神损害赔偿：纹身可能对未成年人的心理健康造成不良影响，如因此产生精神损害，纹身店也应承担相应的赔偿责任。

2. 责任承担方式：

   • 纹身店应首先与未成年人及其监护人协商赔偿事宜，达成赔偿协议。
   • 如果协商不成，未成年人及其监护人可以向人民法院提起诉讼，要求纹身店承担赔偿责任。

三、监护人的责任与考量

虽然纹身店应承担主要责任，但未成年人的监护人也应履行监护职责，确保未成年人不去从事不良行为。如果监护人未尽到监护职责，导致未成年人去纹身，监护人自身也可能需要承担一定的责任。不过，在判定赔偿责任比例时，法院会综合考虑监护人的过错程度，适当减轻纹身店的赔偿责任。因此，这并不影响您向纹身店主张经济赔偿的权利。

四、实际操作建议

1. 收集证据：

   • 保留纹身店为未成年人提供纹身服务的证据，如纹身记录、支付凭证等。
   • 如果可能，收集纹身店承诺清洗纹身的证据，如聊天记录、录音等。

2. 与纹身店协商：

   • 首先尝试与纹身店协商赔偿事宜，明确表达您的诉求和理由。
   • 如果协商不成，可以考虑向消费者协会或相关监管部门投诉。

3. 提起诉讼：

   • 如果协商和投诉均无果，可以向人民法院提起诉讼，要求纹身店承担赔偿责任。
   • 在诉讼过程中，注意提供充分的证据支持您的诉求。

总结：纹身店为17周岁的未成年人提供纹身服务，违反了相关法律法规，应承担相应的赔偿责任。您可以拒绝纹身店清洗纹身的要求，并有权要求经济赔偿。在实际操作中，建议您收集证据、与纹身店协商、向相关部门投诉或提起诉讼，以维护自己的合法权益。如果您在此过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。