结论：老员工被公司要求换名字后重新签订新厂名劳动合同，且日期从换新厂名开始签，这一行为可能涉及多个法律问题，包括但不限于劳动合同的连续性、工龄计算、经济补偿等。以下是对此问题的详细分析：
一、劳动合同的连续性
法律背景：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同的变更应当遵循平等自愿、协商一致的原则，且不得违反法律、行政法规的规定。
- 公司名称的变更，并不影响劳动合同的履行，原劳动合同仍然有效，双方应继续履行。
法律分析：
- 如果公司仅是名称变更，而实际经营主体、工作内容、工作地点等均未发生变化，那么要求员工重新签订劳动合同可能缺乏法律依据。
- 重新签订劳动合同可能被视为对原劳动合同的终止和新劳动合同的订立，这可能影响员工的工龄计算、经济补偿等权益。
二、工龄计算与经济补偿
工龄计算：
- 工龄是计算员工经济补偿、年假、病假等权益的重要依据。
- 如果重新签订劳动合同导致工龄中断，可能损害员工的合法权益。
经济补偿：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，因公司原因导致劳动合同解除或终止的，公司应向员工支付经济补偿。
- 如果公司通过变更名称、要求重新签订劳动合同的方式规避经济补偿责任，可能构成违法行为。
三、法律建议
对于员工：
- 要求公司说明原因：员工可以要求公司说明变更名称、要求重新签订劳动合同的具体原因，并评估这些原因是否合理、合法。
- 拒绝不合理要求：如果公司无法提供合理、合法的解释，或者变更名称、重新签订劳动合同将损害员工的合法权益，员工可以拒绝公司的要求。
- 寻求法律援助：如果公司坚持要求员工重新签订劳动合同，且员工认为自己的权益受到侵害，可以寻求法律援助或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
对于公司：
- 遵守法律法规：公司在变更名称、要求员工重新签订劳动合同时，应遵守相关法律法规的规定，确保员工的合法权益不受侵害。
- 与员工协商一致：如果公司确实需要变更名称或重新签订劳动合同，应与员工进行充分协商，并达成一致意见。
- 承担相应责任：如果因公司原因导致劳动合同解除或终止，公司应依法向员工支付经济补偿等费用。
四、可能后果
如果员工拒绝重新签订劳动合同：
- 公司可能无法单方面解除劳动合同，否则可能构成违法解除，需要支付赔偿金。
- 员工可以继续在原公司工作，享受原劳动合同约定的权益。
如果员工同意重新签订劳动合同：
- 应确保新劳动合同中明确约定工龄的连续计算、经济补偿等条款，以保障自己的合法权益。
- 如果新劳动合同中未明确约定相关条款，员工可能在后续维权时面临困难。
总结：老员工被公司要求换名字后重新签订新厂名劳动合同，且日期从换新厂名开始签，这一行为可能涉及劳动合同的连续性、工龄计算、经济补偿等多个法律问题。员工应谨慎对待公司的要求，并在必要时寻求法律援助以维护自己的合法权益。如果你有进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，可以直接向我咨询。