在债务关系中，当债务人怠于申请执行其到期债权，且这种行为对债权人的权益造成损害时，债权人确实可以依法提起代位权诉讼。以下是对这一问题的详细解答：
一、法律依据与代位权概述
根据《中华人民共和国民法典》第五百三十五条的规定，债权人在特定条件下有权以自己的名义代位行使债务人对相对人的权利。这一权利被称为“债权人的代位权”，它旨在保护债权人的合法权益，防止因债务人怠于行使债权而导致的利益受损。
二、代位权行使的条件
要行使代位权，债权人必须满足以下条件：
债权合法、确定且已到期：
- 债权人对债务人的债权必须是合法、确定的，并且已经到期。这是提起代位权诉讼的基础。
债务人怠于行使到期债权：
- 债务人必须怠于行使其到期债权，即既未履行其对债权人的到期债务，也未通过诉讼或仲裁方式向其债务人（次债务人）主张债权。这种怠于行使的行为必须已经影响到债权人的到期债权的实现。
对债权人造成损害：
- 由于债务人的怠于行使行为，债权人的债权面临不能实现的危险，即债权人的利益受到实际或潜在的损害。
非专属债权：
- 代位权不适用于专属于债务人自身的债权，如基于扶养、抚养、赡养关系产生的给付请求权，以及劳动报酬、退休金、养老金、抚恤金、安置费、人寿保险、人身伤害赔偿请求权等。
三、代位权诉讼的具体操作
确定被告与第三人：
- 在代位权诉讼中，次债务人为被告，债务人可以为诉讼中的第三人。
选择管辖法院：
诉讼结果归属：
- 如果债权人胜诉，判决的效力直接归属于债务人，即次债务人应向债务人履行义务。但债权人可以直接接受次债务人的履行，以实现自己的债权。同时，债权人与债务人之间、债务人与次债务人之间相应的债权债务关系即予消灭。
抗辩权的转移：
- 相对人对债务人的抗辩，可以向债权人主张。这意味着，如果次债务人有合法的抗辩理由来对抗债务人的债权，那么这些抗辩同样可以对抗债权人在代位权诉讼中的主张。
四、注意事项与建议
- 行使范围限制：债权人行使代位权的范围以其对债务人的债权为限，不得超过其债权的数额。
- 费用承担：债权人行使代位权所产生的必要费用，应由债务人负担。
- 专业咨询：在实际操作中，如果遇到相关问题，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和帮助。律师可以协助债权人评估案件的可行性、准备诉讼材料、参与庭审等，以确保债权人的权益得到充分保护。
综上所述，当债务人怠于申请执行其到期债权时，债权人可以依法提起代位权诉讼来维护自己的合法权益。在行使这一权利时，债权人应确保满足所有行使条件，并遵循相关的法律程序和规定。