核心结论：发生交通事故后，即使私下已经赔偿对方并签订了书面协议，该协议在符合法律规定的情况下仍然是有效的。不过，是否完全“管用”还需视具体情况而定，比如协议内容是否合法、是否全面履行、是否存在欺诈或胁迫等情形。

详细分析：

1. 协议的有效性：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，民事主体之间依法订立的合同（包括书面协议），自成立时生效，除非法律另有规定或者当事人另有约定。因此，只要你们双方签订的书面协议是真实意思表示，内容不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，那么该协议就是有效的。
   • 协议的有效性意味着双方应当按照协议内容履行各自的义务。如果你已经按照协议支付了赔偿款，那么对方原则上不能再就同一事故向你主张额外的赔偿。

2. 协议的全面履行：

   • 协议的有效性并不等同于协议的全面履行。如果协议中约定了具体的赔偿项目、金额和支付方式等，你需要确保这些条款都得到了全面、准确的履行。
   • 如果对方认为你未按照协议履行义务，或者协议中存在模糊不清、遗漏重要事项等情况，对方仍有权通过法律途径寻求救济。

3. 特殊情况下的协议效力：

   • 如果协议是在欺诈、胁迫或者乘人之危等情形下签订的，那么该协议可能被认定为无效或者可撤销。在这种情况下，对方有权向法院申请撤销协议，并重新主张赔偿。
   • 另外，如果协议内容违反了法律、行政法规的强制性规定，或者违背了公序良俗，那么该协议也是无效的。例如，协议中约定了免除你重大过失或故意造成的损害赔偿责任等条款，这些条款可能是无效的。

4. 建议与注意事项：

   • 在签订书面协议前，建议双方充分沟通、协商，确保协议内容明确、具体、合法。
   • 如果可能的话，可以请专业律师对协议进行审查，以确保协议的合法性和有效性。
   • 在履行协议过程中，保留好相关证据，如转账记录、收据等，以备不时之需。
   • 如果对方在协议签订后仍然提出额外要求或者存在其他争议，建议及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，并采取相应的法律措施。

总结与进一步思考：

私下签订书面协议是处理交通事故赔偿的一种常见方式，但协议的效力并非绝对。为了确保协议的合法性和有效性，以及避免后续争议，建议在签订协议前咨询专业律师的意见。如果已经签订了协议并履行了义务，但对方仍然提出异议或者存在其他争议，也不要慌张，及时咨询律师并采取相应的法律措施来维护自己的合法权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。