员工经常生病住院，公司一般无权开除或辞退员工，但存在特定法定情形时除外。这主要受到《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》和《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律的严格限制和约束。以下是对这一问题的详细分析：
一、医疗期内员工保护
医疗期定义与长度：
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，企业职工因患病或非因工负伤需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。具体医疗期长度如下：实际工作年限十年以下的，五年以下为三个月，五年以上为六个月；实际工作年限十年以上的，根据工作年限不同，医疗期为六个月至二十四个月不等。
解除劳动合同限制：
- 在规定的医疗期内，用人单位不得解除劳动合同。这是为了保护劳动者的权益，确保其能得到必要的治疗和休息。若用人单位违反规定，在员工医疗期内擅自解除劳动合同，员工有权要求用人单位继续履行劳动合同。若员工不要求继续履行或劳动合同已无法继续履行，用人单位则需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。赔偿金的计算方式是根据劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准进行支付，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的则支付半个月工资的经济补偿。
二、医疗期满后员工处理
不能从事原工作或另行安排的工作：
- 当员工医疗期满后，如果仍然不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，依法解除劳动合同。但在此种情况下，用人单位仍需向劳动者支付经济补偿。
法定程序履行：
- 在解除劳动合同前，用人单位需要履行相应的法定程序，如提供劳动能力鉴定等证据证明员工确实无法胜任工作。
三、特殊允许辞退情况
严重违纪等过错情形：
- 即使员工处于生病住院期间，如果其存在严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害等《劳动合同法》第三十九条规定的过错情形，公司有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
其他法定辞退情形：
- 如员工被依法追究刑事责任等，用人单位同样有权解除劳动合同。这些情况下的辞退与员工生病住院本身并无直接关系。
四、员工维权途径
与公司协商：
- 员工可以首先尝试与公司协商，要求恢复劳动关系或支付相应的赔偿金。
提起仲裁申请：
- 若协商不成，员工可以向劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请，以维护自身合法权益。
提起诉讼：
- 对仲裁裁决不服的，员工还可以向人民法院提起诉讼，进一步寻求法律救济。
总结与建议：
员工生病住院期间，公司应严格遵守相关法律法规，不得随意开除或辞退员工。只有在特定法定情形下，如医疗期满且不能从事原工作或另行安排的工作，或者员工存在严重违纪等过错情形时，公司才有权解除劳动合同。在任何情况下，公司都应确保员工的合法权益不受侵害。如果员工遇到公司违法解除劳动合同的情况，应积极与公司协商，协商不成则可以通过法律途径维护自己的权益。
希望以上分析能对你有所帮助，如果你还有其他关于劳动工伤或婚姻家庭方面的问题，欢迎随时向我咨询。