赔偿失业请求权的法律基础主要涉及劳动合同法及相关司法解释中关于用人单位违法解除或终止劳动合同的赔偿责任规定。具体可从以下角度展开分析：

1. 违法解除劳动合同的赔偿金
   根据《劳动合同法》第48条、第87条，用人单位违法解除或终止劳动合同的，劳动者有权要求继续履行合同；若劳动者不要求继续履行或合同已不能履行，用人单位需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
   计算方式：赔偿金=工作年限×月工资×2（月工资指解除前12个月平均工资，上限为当地社平工资3倍）。
   典型场景：如用人单位无合法理由单方辞退、未提前30日通知解除等。

2. 未依法支付经济补偿的加付赔偿
   若用人单位符合《劳动合同法》第46条应支付经济补偿的情形（如协商解除、合同到期不续签等），但未依法支付，劳动者可依据《劳动合同法》第85条向劳动行政部门投诉，由劳动行政部门责令限期支付；逾期不支付的，用人单位需按应付金额50%-100%的标准加付赔偿金。
   注意：此加付赔偿需以劳动行政部门责令为前提，劳动者不可直接通过仲裁或诉讼主张。

3. 代通知金与赔偿金的竞合限制
   若用人单位依据《劳动合同法》第40条（如医疗期满、不能胜任工作等）解除合同，未提前30日通知的，需支付代通知金（即1个月工资）；但若解除行为本身违法（如未履行法定程序），则劳动者可主张赔偿金，此时赔偿金已包含对未提前通知的补偿，不可同时主张代通知金与赔偿金。

4. 特殊情形下的赔偿范围扩展

• 未签书面合同的双倍工资：若用人单位自用工之日起超过1个月未签书面合同，需支付11个月双倍工资（属惩罚性赔偿，与失业赔偿无关，但可能同时存在）。
  
• 社保损失赔偿：若用人单位未缴社保导致劳动者无法领取失业保险金，劳动者可依据《社会保险法》第86条要求用人单位赔偿实际损失（需证明损失与未缴社保的因果关系）。

实务建议：

1. 劳动者主张赔偿时，需保留解除通知、工资记录、社保缴纳证明等证据；
   
2. 若用人单位主张“合法解除”，需由用人单位承担举证责任（如证明劳动者严重违纪、不能胜任工作等）；
   
3. 赔偿金与经济补偿不可兼得，但赔偿金与加付赔偿、社保损失赔偿可并行主张。
   

如有具体案件细节（如解除理由、工资水平等），可进一步向我咨询，我会结合证据材料分析赔偿金额及维权路径。