结论：在仲裁裁决书被撤销的情况下，该裁决书不可以申请执行。若一方申请执行裁决，而另一方同时申请撤销该裁决，法院会裁定中止执行，直至撤销裁决的申请有了最终结果。
详细分析：
仲裁裁决被撤销后的法律效力：
- 根据《中华人民共和国仲裁法》的相关规定，一旦仲裁裁决被法院裁定撤销，该裁决即自始无效，对双方当事人不再具有法律约束力。因此，被撤销的仲裁裁决书不可以再申请执行。
申请撤销仲裁裁决对执行的影响：
- 当一方当事人申请执行裁决，而另一方当事人同时申请撤销该裁决时，根据《中华人民共和国仲裁法》第六十四条的规定，人民法院应当裁定中止执行。这意味着，在撤销裁决的申请得到最终处理之前，执行程序将暂时停止。
- 若法院最终裁定撤销仲裁裁决，则执行程序应当终结。已执行的部分可能需根据具体情况进行相应处理，如执行回转，即恢复原状，返还已执行的财产或款项。
- 若撤销仲裁裁决的申请被法院驳回，则人民法院应当裁定恢复执行，继续按照原仲裁裁决书的内容进行。
申请撤销仲裁裁决的条件与程序：
- 当事人若认为仲裁裁决存在法定撤销情形，如没有仲裁协议、裁决事项超出仲裁协议范围、仲裁庭组成或程序违反法定程序等，可以向仲裁委员会所在地的中级人民法院提出申请。
- 申请撤销仲裁裁决的期限为自收到裁决书之日起六个月内。超过此期限，法院将不予受理。
- 申请人需提交申请书及相关证据材料，证明裁决存在法定可撤销情形。
法律建议：
- 若您面临仲裁裁决被撤销或申请撤销仲裁裁决的情况，建议及时咨询专业律师，了解具体的法律程序和可能后果。
- 在申请撤销仲裁裁决前，应充分评估撤销申请的成功率及可能对执行程序的影响，以便做出明智的决策。
- 若仲裁裁决被撤销，且您认为该裁决对您不利，您可以考虑通过其他途径寻求救济，如重新申请仲裁或向人民法院起诉。
特殊注意事项：
- 仲裁实行一裁终局的制度，意味着一旦裁决作出，除非被依法撤销，否则即具有法律效力。因此，在申请撤销仲裁裁决前，应谨慎考虑并充分准备相关证据材料。
- 若您对仲裁裁决有异议，但未在法定期限内提出撤销申请，则该裁决将对您产生法律约束力，您应履行裁决所确定的义务。
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