结论：在交强险用完后，若保险公司不愿垫付第三者责任险下的医药费，您可以通过以下途径解决：1. 自行垫付并保留凭证后理赔；2. 与保险公司协商或投诉；3. 通过法律途径解决。以下是具体分析：

1. 自行垫付并保留凭证后理赔

• 法律依据：根据《机动车交通事故责任强制保险条例》及第三者责任险的合同条款，交强险赔偿限额用完后，若事故责任在您，您有义务对第三者进行赔偿。第三者责任险作为商业险，其作用是在交强险赔偿不足时，对超出部分进行补充赔偿。
• 操作建议：在保险公司拒绝垫付的情况下，您可以先自行垫付第三者的医药费，并妥善保留所有相关凭证（如医疗费发票、诊断证明、用药清单等）。之后，您可向保险公司提交这些凭证，按照第三者责任险的合同约定申请理赔。

2. 与保险公司协商或投诉

• 协商：您可以与保险公司进行沟通，了解其拒绝垫付的具体原因。如果是由于信息不全或理解偏差导致的，您可以通过补充材料或解释说明来解决问题。
• 投诉：如果协商无果，您可以向保险公司的上级机构或当地保险监管部门（如银保监会）进行投诉。投诉时，您需要提供详细的情况说明和相关证据，以便监管部门进行调查和处理。

3. 通过法律途径解决

• 诉讼：如果上述方法均无法解决问题，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。您可以向法院提起诉讼，要求保险公司按照第三者责任险的合同约定履行赔偿义务。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据来证明自己的主张。
• 仲裁：如果您的保险合同中约定了仲裁条款，您也可以选择通过仲裁来解决争议。仲裁通常具有更快的解决速度和更低的成本。

额外提醒：在处理此类问题时，建议您注意以下几点：

• 及时与保险公司沟通，了解其拒绝垫付的具体原因和依据。
• 保留好所有相关凭证和证据，以便在需要时进行提供。
• 如果对法律程序不熟悉或感到困惑，可以寻求专业法律人士的帮助。

希望以上分析能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。