结论：在员工合同到期且声称怀孕的情况下，用人单位可以要求员工提供怀孕的相关证明，但这一要求需合法、合理且尊重员工隐私。

分析：

1. 法律背景：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规，女职工在孕期、产期、哺乳期内，劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。这意味着，如果员工在合同到期时怀孕，其劳动合同应自动续延。
   • 同时，用人单位有权了解员工是否符合续延劳动合同的条件，包括是否怀孕。但这一了解应基于合法、合理的目的，且不得侵犯员工的隐私权。

2. 要求提供证明的合法性：

   • 用人单位可以要求员工提供怀孕的相关证明，如医院出具的怀孕诊断证明等，以确认员工是否处于孕期，从而决定是否续延劳动合同。
   • 但这一要求必须合法、合理，且不得以任何形式强迫或威胁员工提供。同时，用人单位应确保员工提供的个人信息得到严格保密，不得泄露给第三方。

3. 员工隐私权的保护：

   • 员工有权保护自己的隐私权，包括怀孕这一敏感信息。用人单位在要求员工提供怀孕证明时，应尊重员工的隐私权，避免过度询问或泄露员工信息。
   • 如果员工拒绝提供怀孕证明，用人单位不得以此为由拒绝续延劳动合同或采取其他不利措施。用人单位应通过合法途径，如与员工协商、咨询医疗机构等，来确认员工是否怀孕。

4. 实际操作建议：

   • 用人单位在要求员工提供怀孕证明时，可以明确告知员工提供证明的目的和用途，以及用人单位对员工隐私的保护措施。
   • 如果员工同意提供证明，用人单位应确保证明的真实性和合法性，并及时续延劳动合同。
   • 如果员工拒绝提供证明或用人单位对员工提供的证明有疑问，可以建议员工通过合法途径（如医院）进行再次确认，或咨询专业律师以获取法律建议。

可能后果：

• 如果用人单位合法、合理地要求员工提供怀孕证明，并尊重员工隐私权，那么这一要求通常不会被视为违法或侵权。
• 如果用人单位强迫或威胁员工提供证明，或泄露员工隐私信息，那么可能面临法律责任，包括赔偿员工损失、承担行政责任等。

进一步思考：

• 在处理此类问题时，用人单位应充分考虑员工的权益和感受，避免因为处理不当而引发劳动纠纷或法律风险。
• 同时，员工也应了解自己的权益和义务，积极配合用人单位的合理要求，共同维护和谐的劳动关系。

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