在客户付了定金但没提货，且货物损坏的情况下，责任归属需根据具体情况来判断，主要有以下几种情况：
若合同中有明确约定：
- 如果货物买卖合同中明确规定了货物交付前的风险承担方，那么应按照合同约定来执行。例如，合同可能规定货物在交付前由卖方负责保管，且风险也由卖方承担，那么在这种情况下，即使客户已经支付了定金但未提货，货物损坏的责任也应由卖方承担。
- 反之，如果合同规定货物交付前的风险由买方承担，或者买方需在特定时间内提货否则承担风险，那么货物损坏的责任可能由买方承担，尽管买方尚未实际提货。
若合同中没有明确约定：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，标的物毁损、灭失的风险，在标的物交付之前由出卖人承担，交付之后由买受人承担，但是法律另有规定或者当事人另有约定的除外。因此，在合同没有明确约定的情况下，如果货物尚未交付给客户，那么货物损坏的风险通常应由卖方承担。
- 然而，如果卖方能够证明货物损坏是由于买方的过错（如未按时提货导致货物滞留、买方指定的运输方式不当等）造成的，那么买方可能需要承担相应的责任。
特殊情况考虑：
- 如果货物损坏是由于不可抗力因素（如自然灾害、战争等）造成的，且双方均无过错，那么根据法律规定，双方可能都不需要承担责任。但这种情况下，双方应协商解决后续事宜，如是否继续履行合同、如何分担损失等。
- 另外，如果客户已经支付了定金，但卖方因自身原因（如保管不善、故意损坏等）导致货物损坏，那么卖方不仅需要承担货物损坏的责任，还可能需要根据定金罚则向客户双倍返还定金。
建议与行动指南：
- 审查合同条款：首先，双方应仔细审查货物买卖合同中的相关条款，特别是关于货物交付、风险承担和定金罚则的约定。
- 协商解决：在合同没有明确约定或约定不明确的情况下，双方应积极协商解决货物损坏的责任归属和后续事宜。
- 寻求法律帮助：如果双方无法达成一致意见，或者对合同条款的理解存在争议，建议寻求专业律师的帮助，通过法律途径解决纠纷。
最后，需要强调的是，每个具体的货物买卖合同纠纷案件都有其独特的事实和法律背景。因此，在处理此类纠纷时，应充分考虑各种因素，并根据实际情况做出合理的判断和决策。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。