关于提起劳动仲裁后私下和解律师费能否退回的问题，结论是：这主要取决于你与律师事务所签订的委托代理合同中的具体约定，没有统一的答案。以下从不同角度为你详细分析：

1. 合同约定优先：

   • 在你与律师事务所签订委托代理合同时，合同中通常会明确约定律师费的支付方式、条件以及退费情形。如果合同中明确规定了在特定情况下（如案件和解）可以退还部分或全部律师费，那么你就有权按照合同约定要求退费。
   • 示例：假设合同中约定“若案件在仲裁或诉讼过程中以和解方式结案，且和解结果未达到委托人预期的，律师事务所应退还委托人已支付律师费的50%”，那么在这种情况下，你就有权要求退还相应比例的律师费。

2. 无约定时的处理：

   • 如果合同中没有明确约定律师费在和解情况下的退还问题，那么就需要根据《中华人民共和国民法典》中关于委托合同的相关规定来处理。一般来说，委托合同是双方自愿签订的，律师已经提供了法律服务，包括准备仲裁材料、参与调解等，因此即使案件以和解方式结案，律师费也可能不予退还。
   • 例外情况：当然，如果律师在提供服务过程中存在过错或未尽到职责，导致案件和解结果对你不利，你可以与律师事务所协商退费事宜，甚至可以通过法律途径追究其责任。但这种情况需要具体分析，不能一概而论。

3. 实际操作建议：

   • 在签订委托代理合同时，建议你仔细阅读合同条款，特别是关于律师费支付和退还的部分，确保自己的权益得到保障。
   • 如果案件在仲裁过程中出现和解的可能，你可以及时与律师事务所沟通，了解退费的具体政策和流程。
   • 如果对退费问题有争议，你可以先尝试与律师事务所协商解决；协商不成的，可以向当地律师协会或司法行政部门投诉，或者通过法律途径解决。

总结来说，律师费在和解情况下能否退回，主要取决于你与律师事务所签订的委托代理合同中的具体约定。因此，在签订合同时，建议你务必仔细阅读合同条款，确保自己的权益得到充分保障。如果你对退费问题有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。