明确结论：
- 法律层面：父亲被列为“老赖”（即失信被执行人）一般不会直接影响儿子当兵的资格。
- 实际操作层面：虽然法律上没有直接禁止，但各地征兵政审过程中可能存在差异，父母的不良信用记录可能会在综合评估时被纳入考量范围，对子女征兵政审产生潜在影响。
详细分析：
法律层面：
- 服兵役是符合年龄和身体健康等条件的公民的权利和义务，主要基于个人的身体素质、政治立场、道德品质以及是否满足其他相关的法定条件。
- 根据《征兵政治考核工作规定》，并未明确将父母成为“老赖”列为子女参军的限制条件。因此，从法律条文的角度来看，父亲是老赖并不会直接剥夺儿子当兵的资格。
实际操作层面：
- 尽管法律上没有明确禁止，但在实际操作中，各地征兵政审的标准可能存在差异。一些地方对于应征人员家庭情况的审查可能较为严格，父母的不良信用记录（如被列为“老赖”）可能会在综合评估时被纳入考量范围。
- 如果父母因严重违法行为（如涉及经济犯罪）而被追究刑事责任，并因此被列为失信被执行人，这可能反映出家庭环境或教育背景存在的问题，进而可能影响子女的政审结果。例如，政审人员可能会认为这样的家庭环境可能不利于培养合格的军人。
建议措施：
- 提前了解政策：在报名前，应仔细了解当地的征兵政策和要求，确保自己符合所有条件。这可以通过咨询当地征兵办公室或查阅相关官方文件来实现。
- 如实填写信息：在报名时，应如实填写个人信息和家庭背景资料，避免因隐瞒或虚假信息而导致的不必要麻烦。如果父亲确实被列为“老赖”，应主动说明情况，并准备相关证明材料以备查验。
- 维护良好信用：家庭成员应尽量保持良好的信用记录和法律意识，以维护良好的家庭环境和社会形象。这不仅有助于子女顺利通过政审，也有助于家庭的整体发展。
可能后果：
- 如果父亲是老赖的情况被征兵政审部门知晓，且当地政审标准较为严格，那么子女可能会面临更严格的审查或评估。这可能导致子女需要提供更多的证明材料或接受更深入的调查。
- 在极端情况下，如果父亲的老赖行为被认为与子女的政治立场、道德品质或法律意识存在直接关联，那么子女可能会因此被拒绝参军。然而，这种情况相对较为罕见，且需要充分的证据支持。
综上所述，父亲被列为“老赖”一般不会直接影响儿子当兵的资格，但考虑到实际操作中的地区差异和审查严格程度，建议提前了解相关政策并做好充分准备。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。