结论：因加班晚下班途中摔伤，是否由单位负责需根据具体情况判断，主要取决于是否构成工伤。以下从不同角度进行分析：
一、构成工伤的情况
法律依据：
- 根据《工伤保险条例》第十四条第六项规定，职工在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的，应当认定为工伤。
具体分析：
- 若您在加班晚下班途中，因非本人主要责任的交通事故（如与机动车相撞、被其他车辆撞击等）导致摔伤，且该事故经交警部门认定您非主要责任，那么您的情况应构成工伤。
- 在此情况下，单位应负责承担工伤保险责任，包括支付医疗费用、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。
建议行动：
- 立即报警并保留事故现场证据，如照片、视频等。
- 及时向单位报告事故情况，并要求单位协助申请工伤认定。
- 收集并保存相关医疗证明、费用单据等证据材料。
二、不构成工伤的情况
法律依据：
- 若摔伤原因不符合《工伤保险条例》中关于工伤认定的规定，如因个人疏忽、地面湿滑等自身原因导致摔伤，且未涉及交通事故或非本人主要责任的情况，则一般不构成工伤。
具体分析：
- 若您在加班晚下班途中，因个人原因（如走路看手机、未注意路面情况等）导致摔伤，且未涉及交通事故或经认定您为主要责任，那么您的情况可能不构成工伤。
- 在此情况下，单位一般无需承担工伤保险责任，但可能基于人道主义关怀给予一定帮助。
建议行动：
- 及时就医并保留医疗证明、费用单据等证据材料。
- 与单位沟通，说明情况并寻求可能的帮助或支持。
- 若认为单位存在过错（如未提供安全的工作环境、未及时清理路面等），可考虑通过法律途径维护自身权益。
三、特殊情况考虑
单位责任延伸：
- 即使不构成工伤，若单位存在过错（如未提供必要的安全保障措施、未及时清理工作场所或周边道路等），导致您在下班途中摔伤，单位仍可能需承担一定的民事赔偿责任。
证据收集与保存：
- 在任何情况下，都应尽可能收集并保存相关证据材料，如事故现场照片、视频、医疗证明、费用单据等，以便在需要时证明自己的权益。
总结与建议：因加班晚下班途中摔伤是否由单位负责，需根据具体情况判断是否构成工伤。若构成工伤，单位应承担工伤保险责任；若不构成工伤，但单位存在过错，仍可能需承担一定的民事赔偿责任。建议您及时报警、就医并保留相关证据材料，同时与单位沟通并寻求可能的帮助或支持。如有需要，可直接向我咨询相关法律问题。