公司拒绝出具解除劳动合同通知书和离职证明是违法的，你有权通过法律途径要求公司出具，并可就因此造成的损失向公司索赔。以下是从不同角度为你提供的详细分析和建议：
一、与公司协商沟通
直接沟通：
- 首先，尝试与公司的人力资源部门或相关负责人进行友好交流，明确指出根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的规定，公司有义务在解除劳动合同时出具解除劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。
- 强调该证明书对你办理失业登记、领取失业金、入职新单位等方面的重要性，询问公司不开具的具体原因，看是否能当场解决问题并获得证明。
书面催告：
- 如果直接沟通无果，可通过电子邮件、邮寄书面函件等方式正式催告公司出具证明，并限定合理期限（如3个工作日）。
- 务必保留好邮件发送记录、快递单据等作为凭证，以备后续维权之需。
二、申请劳动监察
准备材料：
- 收集身份证、劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等能证明与公司存在劳动关系的材料。
- 准备离职通知、双方关于解除合同的聊天记录等能证明劳动合同已解除的证据。
投诉流程：
- 向当地劳动监察部门提交投诉，详细说明公司拒不出具证明的情况，并提交准备好的材料。
- 劳动监察部门将调查核实情况，责令公司限期改正，并可依法对公司进行处罚。
三、申请劳动仲裁
仲裁申请：
- 若劳动监察未能解决问题，可向当地劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请。
- 申请书应写明双方当事人的基本信息、仲裁请求（要求公司出具解除劳动合同证明书及赔偿损失）、事实和理由，并附上相关证据材料。
仲裁流程：
- 仲裁委员会受理申请后，将安排开庭审理。你需要在庭审中充分陈述诉求和事实依据，公司也会进行答辩。
- 仲裁委员会将根据双方提供的证据和庭审情况作出裁决，要求公司出具解除劳动合同证明书，并可能承担相应的赔偿责任。
四、提起诉讼
- 如果劳动仲裁委员会作出裁决后，公司仍不履行其义务，你可以向人民法院提起诉讼，要求公司承担法律责任，包括出具解除劳动合同证明书和赔偿因未出具证明而造成的损失。
五、注意事项
时效问题：
- 务必在规定的时效内进行维权操作，避免因时间过长而影响权益的保障。一般来说，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从你知道或者应当知道权利被侵害之日起计算。
保留证据：
- 在整个过程中，妥善保留好与公司的所有相关沟通记录、工作凭证等资料，这些将在后续维权中发挥重要作用。
保持冷静：
- 通过合法途径理性维权，避免采取过激行为。保持冷静和理智，有助于你更好地维护自己的合法权益。
六、可能面临的法律后果
- 如果公司拒不出具解除劳动合同证明书，除了可能面临劳动监察部门的处罚外，还可能因未履行法定义务而承担赔偿责任。根据相关法律法规，公司未依法出具解除劳动合同证明书，给劳动者造成损害的，应当承担赔偿责任。
综上所述，面对公司拒绝出具解除劳动合同通知书和离职证明的情况，你应首先尝试与公司协商；协商不成时，依次向劳动监察部门投诉、向劳动仲裁委员会申请仲裁；如仲裁裁决仍未得到履行，则可向人民法院提起诉讼。在整个过程中，务必注意保留证据、遵守时效规定，并通过合法途径理性维权。如果你还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。