当公司拒绝出具解除劳动关系证明时，这确实是违法的行为，您完全有权通过一系列法律途径来维护自己的合法权益。以下是我为您详细梳理的应对步骤和建议：
一、明确权益与违法性
首先，要明确的是，根据《劳动合同法》的相关规定，公司在解除劳动合同时，有义务向您出具解除劳动合同的证明。这是您的合法权益，公司不得拒绝或拖延。
二、与公司进行友好协商
- 主动沟通：建议您首先尝试与公司的人力资源部门或直接上级进行友好沟通，明确说明您需要解除劳动合同证明的原因，比如办理失业登记、寻找新工作等，并要求公司按照法律规定出具证明。
- 内部调解：如果直接沟通没有结果，您可以考虑向公司内部的劳动争议调解委员会申请调解，希望通过内部机制促成公司出具证明。
三、向劳动监察部门投诉
- 准备投诉材料：在协商无果的情况下，您需要准备相关的投诉材料，包括您的身份证、劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等能证明您与公司存在劳动关系的材料，以及离职通知、双方关于解除合同的聊天记录等能证明劳动合同已解除的证据。
- 提交投诉：向当地的人力资源和社会保障局劳动监察大队进行投诉，您可以通过电话、书面材料或政务服务网等渠道进行。在投诉时，要详细说明您的个人信息、工作单位情况、劳动合同签订及解除情况，以及公司拒绝出具证明的事实，并要求责令公司限期改正。
- 等待处理结果：劳动监察部门将在一定期限内（通常不超过60个工作日）进行调查核实，并给予答复。如果公司确实存在违法行为，劳动监察部门将责令其限期改正，并可能依法对公司进行处罚。
四、申请劳动仲裁
- 准备仲裁材料：如果劳动监察部门的投诉没有解决问题，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁前，您需要准备仲裁申请书、身份证明、劳动合同及相关证据等材料。
- 提交仲裁申请：在仲裁申请书中，要明确写明双方当事人的基本信息、仲裁请求（要求公司出具解除劳动合同证明书及赔偿损失）、事实和理由，并附上相关证据材料。
- 参与仲裁程序：仲裁委员会受理申请后，将安排开庭审理。在庭审中，您需要充分陈述您的诉求和事实依据，公司也会进行答辩。仲裁委员会将根据双方提供的证据和庭审情况作出裁决。
五、提起诉讼
如果劳动仲裁委员会作出的裁决没有得到公司的履行，您还可以向人民法院提起诉讼。在起诉时，您需要准备起诉状、仲裁裁决书及相关证据等材料，并向有管辖权的人民法院提交起诉材料。在诉讼请求中，要强调公司出具证明的法定义务，并要求赔偿因延误出具证明造成的损失。
六、注意事项
- 保留证据：在整个维权过程中，您一定要妥善保留好与公司的所有相关沟通记录（如聊天记录、电话录音）、工作凭证（如工资条、考勤记录）及解除劳动合同的相关证据（如离职通知、工作交接记录）。这些证据在后续维权中将发挥重要作用。
- 遵守时效规定：务必在规定的时效内进行维权操作，避免因时间过长而影响权益的保障。
- 保持冷静与理性：在维权过程中，要保持冷静和理性，通过合法途径进行维权，避免采取过激行为。
综上所述，面对公司拒绝出具解除劳动关系证明的情况，您应依法维权，通过协商、投诉、劳动仲裁和诉讼等途径来维护自己的合法权益。希望这些建议能对您有所帮助。