结论：公益性岗位合同没到期，公司一般不可以单方面随意辞退员工，但在符合法定情形时可以依法解除劳动合同。
一、公司单方面辞退的法定情形
根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，公司单方面辞退员工（即用人单位单方面解除劳动合同）需要符合法定情形，这些情形包括但不限于：
劳动者严重违反用人单位的规章制度：如果员工严重违反了公司制定的规章制度，且这些规章制度是合法、合理并经过民主程序制定的，同时员工在入职时已经知晓或应当知晓这些制度，那么公司有权单方面解除劳动合同。
劳动者严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害：如果员工因严重失职或营私舞弊行为给公司造成了重大损害，公司同样有权单方面解除劳动合同。
劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正：如果员工在公益性岗位工作期间，同时与其他用人单位建立了劳动关系，且这种行为对完成本单位的工作任务造成了严重影响，或者经公司提出后员工拒不改正，公司可以解除劳动合同。
劳动者以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使用人单位在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同：如果员工在订立或变更劳动合同时存在欺诈、胁迫或乘人之危的行为，导致公司违背了真实意思，公司有权解除劳动合同。
劳动者被依法追究刑事责任：如果员工被依法追究刑事责任，公司可以解除劳动合同。
二、公司单方面辞退的程序要求
即使公司符合上述法定情形之一，单方面辞退员工时也需要遵循一定的程序要求，包括但不限于：
提前通知：在大多数情况下，公司需要提前三十日以书面形式通知员工本人，或者额外支付员工一个月工资后，可以解除劳动合同（这一规定在《劳动合同法》第四十条中有所体现，但需注意该条款适用于非过错性辞退情形，对于过错性辞退如上述第1-5点情形，则无需提前三十日通知）。不过，在员工存在严重过错（如上述第1-4点情形）时，公司可以立即解除劳动合同，无需提前通知。
说明理由：公司单方面解除劳动合同时，应当向员工说明解除劳动合同的理由，并出具解除劳动合同的证明。
办理离职手续：公司需要协助员工办理离职手续，包括结清工资、转移社保关系等。
三、公益性岗位的特殊性
公益性岗位通常带有政策扶持性质，旨在帮助特定就业困难群体实现就业。然而，这并不意味着公益性岗位的员工在劳动合同解除方面享有特殊待遇。无论是公益性岗位还是普通岗位，公司单方面解除劳动合同都需要遵循《劳动合同法》的相关规定。
四、法律建议
如果公司单方面辞退你且不符合法定情形：你可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司继续履行劳动合同或支付违法解除劳动合同的赔偿金。
如果公司单方面辞退你且符合法定情形但程序不合法：你同样可以申请仲裁，主张公司因程序不合法而构成违法解除劳动合同，要求公司支付赔偿金。
在处理此类纠纷时：建议你保留好相关证据，如劳动合同、工资单、公司规章制度、解除劳动合同通知等，以便在仲裁或诉讼过程中维护自己的合法权益。
如果你在公益性岗位合同未到期时被公司单方面辞退，且对此有疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。