结论：在您上班途中发生交通意外且对方全责，被判定为九级工伤的情况下，公司需要承担的责任主要包括申报工伤的义务、支付停工留薪期内的工资福利、陪护费用以及一次性伤残就业补助金（若您解除或终止劳动关系）。具体责任如下：
申报工伤的义务：
- 根据《工伤保险条例》的相关规定，公司应在事故伤害发生之日起30日内，向社会保险行政部门提出工伤认定申请。这是公司的法定义务，若公司未按时申请，导致期间发生的工伤待遇费用将由公司负担。
支付停工留薪期内的工资福利：
- 在您因工伤需要暂停工作接受治疗期间，公司应按照您原工资福利待遇的标准，支付停工留薪期内的工资。这是为了保障您在治疗期间的基本生活需求。
支付陪护费用：
- 若您在工伤治疗期间需要陪护，公司应承担相应的陪护费用。这通常是根据实际需要和合理标准来确定的。
支付一次性伤残就业补助金（若解除或终止劳动关系）：
- 若您因工伤导致九级伤残，并在之后解除或终止与公司的劳动关系，公司应支付一次性伤残就业补助金。具体金额通常根据当地的相关规定和您的伤残等级来确定。
额外分析：
- 工伤保险基金支付部分：由于您的情况构成工伤，且公司已缴纳工伤保险（假设公司已依法缴纳），那么大部分工伤赔偿将由工伤保险基金支付，包括医疗费用、一次性伤残补助金等。但如前所述，公司仍需承担上述特定责任。
- 若公司未缴纳工伤保险：若公司未依法为您缴纳工伤保险，则原本应由工伤保险基金支付的费用也将全部由公司承担。这包括医疗费用、一次性伤残补助金以及上述公司应承担的其他责任。
建议：
- 及时与公司沟通：建议您及时与公司沟通，了解公司是否已为您申报工伤，并确认公司是否愿意承担上述责任。
- 保留相关证据：请保留好与工伤相关的所有证据，包括医疗记录、交通事故认定书、工伤认定书等，以备不时之需。
- 咨询专业意见：若您对公司的处理方式或赔偿金额有疑问，或遇到公司拒绝承担责任的情况，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议。